高斯整數

高斯整數是實數和虛數部分都是整數的複數。所有高斯整數組成了一個整域，寫作${\displaystyle \mathbf {Z} [i]}$，是個不可以轉成有序環的欧几里得整环。

${\displaystyle \mathbf {Z} [i]=\{a+bi\mid a,b\in \mathbb {Z} \}}$

高斯整數的范数都是非負整數，定義為

${\displaystyle N(zw)=N(z)N(w)}$

${\displaystyle \mathbf {Z} [i]}$單位元${\displaystyle 1,-1,i,-i}$的範數均為${\displaystyle 1}$。

高斯整環

高斯整数形成了一个唯一分解整环，其可逆元为${\displaystyle 1,-1,i,-i}$。

質元素

${\displaystyle \mathbf {Z} [i]}$的素元素又称为高斯質數。

高斯整数${\displaystyle a+bi}$是素数当且仅当：

• ${\displaystyle a,b}$中有一个是零，另一个是形为${\displaystyle 4n+3}$或其相反数${\displaystyle -(4n+3)}$的素数

或

• ${\displaystyle a,b}$均不为零，而${\displaystyle a^{2}+b^{2}}$为素数。

以下给出这些条件的证明。

必要条件的证明为：仅当高斯整数的范数是素数，或素数的平方时，它才是高斯素数。这是因为对于任何高斯整数${\displaystyle g}$，${\displaystyle g\mid g{\overline {g}}=N(g)}$。现在，${\displaystyle N(g)}$是整数，因此根据算术基本定理，它可以分解为素数${\displaystyle p_{1}p_{2}\cdots p_{n}}$的乘积。根据素数的定义，如果${\displaystyle g}$是素数，则它可以整除${\displaystyle p_{i}}$，对于某个${\displaystyle i}$。另外，${\displaystyle {\overline {g}}}$可以整除${\displaystyle {\overline {p_{i}}}=p_{i}}$，因此${\displaystyle N(g)=g{\overline {g}}\mid p_{i}^{2}}$。于是现在只有两种选择：要么${\displaystyle g}$的范数是素数，要么是素数的平方。

如果实际上对于某个素数${\displaystyle p}$，有${\displaystyle N(g)=p^{2}}$，那么${\displaystyle g}$和${\displaystyle {\overline {g}}}$都能整除${\displaystyle p^{2}}$。它们都不能是可逆元，因此${\displaystyle g=pu}$，以及${\displaystyle {\overline {g}}=p{\overline {u}}}$，其中${\displaystyle u}$是可逆元。这就是说，要么${\displaystyle a=0}$，要么${\displaystyle b=0}$，其中${\displaystyle g=a+bi}$。

然而，不是每一个素数${\displaystyle p}$都是高斯素数。${\displaystyle 2}$就不是高斯素数，因为${\displaystyle 2=(1+i)(1-i)}$。高斯素数不能是${\displaystyle 4n+1}$的形式，因为根据费马平方和定理，它们可以写成${\displaystyle a^{2}+b^{2}}$的形式，其中${\displaystyle a}$和${\displaystyle b}$是整数，且${\displaystyle a^{2}+b^{2}=(a+bi)(a-bi)}$。剩下的就只有形为${\displaystyle 4n+3}$的素数了。

形为${\displaystyle 4n+3}$的素数也是高斯素数。假设${\displaystyle g=p+0i}$，其中${\displaystyle p=4n+3}$是素数，且可以分解为${\displaystyle g=hk}$。那么${\displaystyle p^{2}=N(g)=N(h)N(k)}$。如果这个分解是非平凡的，那么${\displaystyle N(h)=N(k)=p}$。但是，任何两个平方数的和都不能写成${\displaystyle 4n+3}$的形式。因此分解一定是平凡的，所以${\displaystyle g}$是高斯素数。

类似地，${\displaystyle i}$乘以一个形为${\displaystyle 4n+3}$的素数也是高斯素数，但${\displaystyle i}$乘以形为${\displaystyle 4n+1}$的素数则不是。

如果${\displaystyle g}$是范数为素数的高斯整数，那么${\displaystyle g}$是高斯素数。这是因为如果${\displaystyle g=hk}$，那么${\displaystyle N(g)=N(h)N(k)}$。由于${\displaystyle N(g)}$是素数，因此${\displaystyle N(h)}$或${\displaystyle N(k)}$一定是1，所以${\displaystyle h}$或${\displaystyle k}$一定是可逆元。

作为整闭包

高斯整数环是${\displaystyle \mathbf {Z} }$在高斯有理数域中的整闭包，由实数部分和虚数部分都是有理数的复数组成。

作为欧几里德环

在图中很容易看到，每一个复数与最近的高斯整数的距离最多为${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$个单位。因此，${\displaystyle \mathbf {Z} [i]}$是一个欧几里德环，其中${\displaystyle v(z)=N(z)}$。所以，該環尤其是主理想整環，其理想皆形如${\displaystyle \langle a+bi\rangle }$。若${\displaystyle (a,b)=1}$，則對應的商是：

${\displaystyle \mathbb {Z} [i]/{\left\langle a+bi\right\rangle }\cong \mathbb {Z} _{a^{2}+b^{2}}\ =\ \{[0],[1],[2]\cdots ,[a^{2}+b^{2}-1]\}.}$

未解决的问题

高斯圆问题是中心为原点、半径为给定值的圆内有多少格点的问题。它本身并不是关于高斯整数的，但等价于确定范数小于某个给定值的高斯整数的数目。

关于高斯整数，还有一些猜想和未解决的问题，例如：

实数轴和虚数轴含有无穷多个高斯素数${\displaystyle 3,7,11,19,\dots }$。在复平面上，还存在任何其它的直线上有无穷多个高斯素数吗？特别地，实数部分为${\displaystyle 1}$的直线上存在无穷多个高斯素数吗？

在高斯素数上行走，步伐小于某个给定的值，可以走到无穷远吗？

參見

• 艾森斯坦整數
• 费马平方和定理
• 二次互反律