超复数

超複數是複數在抽象代數中的引申，通常是實數域上某個有限維的單位代數的元素。19世紀後期對超複數的研究，成為現代群表示論的根基。 此種代數舉例如下：

• 4維度：四元數、雙複數、分裂四元數
• 8維度：八元數、複四元數
• 16維度：十六元數

歷史

19世紀，實數系和複數系之外的若干數系，如四元數系、雙複數系、分裂四元數系、複四元數系、八元數系，成為數學文獻中完善的概念。超複數是涵蓋該些數系的概念，吸引學者研究和分類。

分類工作始於本傑明·皮爾士的1872年文章〈線性結合代數〉，並由其子查爾斯·桑德斯·皮爾士接續。重要的是，二人認定冪零元和冪等元皆對分類有用。凱萊－迪克森構造利用對合，從實數系開始，生成複數系、四元數系、八元數系。赫維茲和弗羅貝尼烏斯證明超複數的若干限制：赫維茲定理斷言有限維的實複合代數（英语：composition algebra）僅得實數系${\displaystyle \mathbb {R} }$、複數系${\displaystyle \mathbb {C} }$、四元數系${\displaystyle \mathbb {H} }$、八元數系${\displaystyle \mathbb {O} }$，而弗羅貝尼烏斯定理（英语：Frobenius theorem (real division algebras)）斷言，實結合除代數（英语：associative division algebra）僅得${\displaystyle \mathbb {R} }$、${\displaystyle \mathbb {C} }$、${\displaystyle \mathbb {H} }$。1958年，弗蘭克·亞當斯（英语：Frank Adams）考慮H-空間（有具單位元的連續乘法的拓撲空間）的霍普夫不變量，發表推廣的結果，該結果仍將維數限制在1、2、4、8。

矩陣代數對研究超複數系幫助很大。首先，矩陣提供新的超複數系，例如${\displaystyle 2\times 2}$實矩陣組成的代數（同構於分裂四元數）。很快，矩陣方法解明其他超複數系，因為該些超複數系也可以用矩陣及其運算表示。1907年，約瑟夫·韋德伯恩證明，滿足結合律的超複數系可表示為方陣代數或其直積。此後，結合代數成為較常用來稱呼超複數系的術語，例如韋德伯恩在愛丁堡大學的學位論文標題便用了此術語。然而，也有不可結合的數系，例如八元數系和雙曲四元數系，也算是另一類的超複數。

湯馬士·霍金斯（Thomas Hawkins）解釋，超複數是研究李群和群表示論的踏腳石。例如，1929年，埃米·諾特發表〈超複量與表示論〉。1973年，以賽亞·坎托爾（英语：Isaiah Kantor）和索洛多夫尼科夫（A. S. Solodovnikov）出版關於超複數的德文教科書，該書於1989年翻譯成英文。

凱倫·帕歇爾（英语：Karen Parshall）詳細介紹全盛期的超複數研究，包括數學家特奧多爾·莫林（英语：Theodor Molien）和愛德華·斯圖迪（英语：Eduard Study）的貢獻。關於超複數至近世代數的過渡，巴爾特·倫德特·范德瓦爾登（英语：Bartel van der Waerden）在《代數史》有三十頁專論超複數。

定義

Kantor & Solodovnikov (1989) harvtxt模板錯誤: 多個指向目標 (2個): CITEREFKantorSolodovnikov1989 (幫助)定義超複數為實域上某個有限維代數的元素，而該代數要有單位，但無需可結合或可交換。 該些元素可以寫成一組基${\displaystyle \{1,i_{1},\dots ,i_{n}\}}$的線性組合，其中系數為實數${\displaystyle (a_{0},\dots ,a_{n})}$，而基的大小${\displaystyle n+1}$稱為該代數的維數。若可行，一般將基正規化，即選取${\displaystyle i_{k}}$使${\displaystyle i_{k}^{2}\in \{-1,0,+1\}}$。下節先考慮二維超複數（即${\displaystyle n=1}$）。

二維實代數

關於二維實代數有以下定理：^:14,15在同構意義下，實域上的二維單位代數恰有3個：複數系、雙曲複數系、二元數系。於是，實域上的所有二維單位代數皆可結合和可交換。

下段簡述定理的證明。

因為給定的代數是二維，可選一組基${\displaystyle \{1,u\}}$。因為代數對乘法封閉，${\displaystyle u}$的平方仍是代數的元素，故可寫成線性組合：

${\displaystyle u^{2}=a_{0}+a_{1}u,}$

其中${\displaystyle a_{0},a_{1}}$為實系數。

運用常見的配方法，兩邊減走${\displaystyle a_{1}u}$並加上${\displaystyle a_{1}^{2}/4}$，得：

${\displaystyle u^{2}-a_{1}u+{\frac {a_{1}^{2}}{4}}=a_{0}+{\frac {a_{1}^{2}}{4}}.}$

所以${\displaystyle \left(u-{\frac {a_{1}}{2}}\right)^{2}={\tilde {u}}^{2}}$，其中${\displaystyle {\tilde {u}}^{2}=a_{0}+{\frac {a_{1}^{2}}{4}}}$是實數。 取決於此實數值，分別有三種情況：

1. 若${\displaystyle 4a_{0}=-a_{1}^{2}}$，則上式變成${\displaystyle {\tilde {u}}^{2}=0}$。於是，${\displaystyle {\tilde {u}}}$可視為二元數的基${\displaystyle \{1,\varepsilon \}}$中的冪零元${\displaystyle \varepsilon }$。
2. 若${\displaystyle 4a_{0}>-a_{1}^{2}}$，則有${\displaystyle {\tilde {u}}^{2}>0}$。雙曲複數的標準基${\displaystyle \{1,j\}}$滿足${\displaystyle j^{2}=+1}$，故若除${\displaystyle {\tilde {u}}}$以正實數${\displaystyle a:={\sqrt {a_{0}+{\frac {a_{1}^{2}}{4}}}}}$（其平方與${\displaystyle {\tilde {u}}}$平方相等），得到的結果即可視為${\displaystyle j}$。
3. 若${\displaystyle 4a_{0}<-a_{1}^{2}}$，則有${\displaystyle {\tilde {u}}^{2}<0}$。平常複數的標準基${\displaystyle \{1,i\}}$滿足${\displaystyle i^{2}=-1}$，故若除${\displaystyle {\tilde {u}}}$以正實數${\displaystyle a:={\sqrt {{\frac {a_{1}^{2}}{4}}-a_{0}}}}$（其平方與${\displaystyle {\tilde {u}}}$平方互為相反數），得到的結果即可視為${\displaystyle i}$。

從而定理成立。

複數系是以上三個二維實代數中唯一一個域。若代數具有1的非實平方根${\displaystyle j}$（如雙曲複數），則也有冪等元${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(1\pm j)}$和零因子（因為${\displaystyle (1+j)(1-j)=0}$），故此種代數必不為除代數（粤语：除代數）。然而，此種性質有時很有用，例如雙曲複數適用於描述狹義相對論的勞侖茲變換。

《數學雜誌》在2004年的某版中，稱二維實代數為「廣義複數」（generalized complex numbers）。四個複數交比的概念也可以推廣到其他二維實代數。

高維例子（有多於一條非實軸）

克里福代數

克里福代數是由賦有二次型的向量空間所生成的單位結合代數。在實域上，其等價於可以定義對稱純量積${\displaystyle u\cdot v={\tfrac {1}{2}}(uv+vu)}$，正交化該二次型，以得到基${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{k}\}}$，滿足：

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(e_{i}e_{j}+e_{j}e_{i})=\left\{{\begin{matrix}-1,0,+1,&i=j,\\0,&i\not =j.\end{matrix}}\right.}$

由乘法封閉性，該向量空間的基相乘得到${\displaystyle 2^{k}}$個克里福數（英语：Multivector），即${\displaystyle 1,\ e_{1},\ e_{2},\ e_{3},\ \ldots ,\ e_{1}e_{2},\ \ldots ,\ e_{1}e_{2}e_{3},\ \ldots ,\ e_{1}e_{2}\cdots e_{k}}$，皆為克里福代數的元素，且組成該代數的基（不同於原向量空間的基），可視為一個超複數系的基。與原向量空間的基${\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{k}\}}$不同，該代數的其他基元素不一定反交換，而是取決於將兩個因子對調時，會交換的簡單因子（即${\displaystyle e_{i}}$）有奇數對抑或偶數對。所以，${\displaystyle e_{1}e_{2}=-e_{2}e_{1}}$，但${\displaystyle e_{1}(e_{2}e_{3})=+(e_{2}e_{3})e_{1}}$。

若不允許${\displaystyle e_{i}^{2}=0}$（即二次型非退化（英语：Degenerate bilinear form）），則餘下的克里福代數可記為${\displaystyle \mathrm {Cl} _{p,q}(\mathbb {R} )}$，表示其為${\displaystyle p}$個滿足${\displaystyle e_{i}^{2}=+1}$的簡單基元和${\displaystyle q}$個滿足${\displaystyle e_{i}^{2}=-1}$的簡單基元生成的代數，而括號內的${\displaystyle \mathbb {R} }$指明此為實域上的克里福代數，即元素的系數為實數。

該些代數稱為幾何代數，組成有規律的一族。該族代數適用於描述轉動、相位、自旋，因此在古典和量子力學、電磁學、相對論方面很有用。

此族代數包括：複數系${\displaystyle \mathrm {Cl} _{0,1}(\mathbb {R} )}$、雙曲複數系${\displaystyle \mathrm {Cl} _{1,0}(\mathbb {R} )}$，四元數系${\displaystyle \mathrm {Cl} _{0,2}(\mathbb {R} )}$、分裂複四元數系（英语：split-biquaternion）${\displaystyle \mathrm {Cl} _{0,3}(\mathbb {R} )}$、分裂四元數系${\displaystyle \mathrm {Cl} _{1,1}(\mathbb {R} )\cong \mathrm {Cl} _{2,0}(\mathbb {R} )}$（二維空間生成的自然代數）、${\displaystyle \mathrm {Cl} _{3,0}(\mathbb {R} )}$（三維空間生成的自然代數，也是包立矩陣生成的代數）、時空代數${\displaystyle \mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {R} )}$。

代數${\displaystyle \mathrm {Cl} _{p,q}(\mathbb {R} )}$可以視為代數${\displaystyle \mathrm {Cl} _{q+1,p}(\mathbb {R} )}$的偶子代數${\displaystyle \mathrm {Cl} _{q+1,p}^{[0]}(\mathbb {R} )}$，從而可用作描述${\displaystyle \mathrm {Cl} _{q+1,p}(\mathbb {R} )}$中的旋轉。因此，複數密切關係二維空間的旋轉，四元數密切關係三維空間的旋轉，雙曲複數密切關係1+1維時空的雙曲旋轉（洛侖茲變換），餘可類推。

雖然八維或以上時，凱萊-迪克森結構和分裂複數構造的乘法不可結合，任意維數的克里福代數皆可結合。

1995年，伊恩·波蒂厄斯（英语：Ian R. Porteous）有關克里福代數的書中，論及「子代數的辨認」。其命題11.4總結超複數的情況：

設${\displaystyle A}$為實結合代數，且具有單位元${\displaystyle 1}$。則

• ${\displaystyle 1}$生成${\displaystyle \mathbb {R} }$（實子代數），
• 若${\displaystyle e_{0}\in A}$是任何滿足${\displaystyle e_{0}^{2}=-1}$的元素，則其生成的二維子代數與${\displaystyle \mathbb {C} }$同構（複子代數），
• 若${\displaystyle e_{0}\in A}$是任何滿足${\displaystyle e_{0}^{2}=+1}$的元素，則其生成的二維子代數與${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$同構（此處${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$是實二元組的集合，其上的乘法是逐個分量相乘。該代數與雙曲複代數同構），
• 若${\displaystyle e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=-1}$，且${\displaystyle e_{0},e_{1}}$反交換，則${\displaystyle \{e_{0},e_{1}\}}$生成的四維子代數同構於${\displaystyle \mathbb {H} }$（四元數代數），
• 若${\displaystyle e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=1}$，且${\displaystyle e_{0},e_{1}}$反交換，則${\displaystyle \{e_{0},e_{1}\}}$生成的四維子代數同構於${\displaystyle {\mathcal {M}}_{2}(\mathbb {R} )}$（元素為${\displaystyle 2\times 2}$實矩陣，或分裂四元數），
• 若${\displaystyle e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=e_{2}^{2}=-1}$，且${\displaystyle e_{0},e_{1},e_{2}}$兩兩反交換，則其生成的八維子代數同構於${\displaystyle \ {}^{2}\mathbb {H} }$（分裂複四元數代數（英语：split-biquaternion）），
• 若${\displaystyle e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=e_{2}^{2}=1}$，且${\displaystyle e_{0},e_{1},e_{2}}$兩兩反交換，則其生成的八維子代數同構於${\displaystyle {\mathcal {M}}_{2}(\mathbb {C} )}$（元素為${\displaystyle 2\times 2}$複矩陣，亦可視為複四元數或包立代數）。

超出該些古典代數的延伸，見克里福代數的分類（英语：Classification of Clifford algebras）。

凱萊－迪克森構造

撇除實數系、複數系、四元數系不計，其他克里福代數${\displaystyle \mathrm {Cl} _{p,q}(\mathbb {R} )}$皆含有平方為${\displaystyle +1}$的非實數，故不能為除代數。凱萊－迪克森構造是另一個擴展複數系的方法，其給出維數為${\displaystyle 2^{n}\ (n=2,\ 3,\ 4,\ldots )}$的數系，該些數系的基${\displaystyle \{1,i_{1},\dots ,i_{2^{n}-1}\}}$滿足：所有非實的基元兩兩反交換，且${\displaystyle i_{m}^{2}=-1}$。在8維或以上時（即${\displaystyle n\geq 3}$），該些代數不可結合，而在16維或以上時（即${\displaystyle n\geq 4}$），該些代數有零因子。

此構造得到的前幾個代數是4維的四元數系、8維的八元數系、16維的十六元數系。隨維數上升，其代數結構的對稱性逐一失去：四元數乘法不可交換，八元數乘法不可結合，而十六元數的範數不具積性。

凱萊－迪克森構造的某些步驟中，若插入額外的符號，則得到複合代數（英语：composition algebra）中的「分裂代數」，而非除代數：

分裂複數系：有基${\displaystyle \{1,i_{1}\}}$，滿足${\displaystyle \ i_{1}^{2}=+1}$，

分裂四元數系：有基${\displaystyle \{1,i_{1},i_{2},i_{3}\}}$，滿足${\displaystyle \ i_{1}^{2}=-1,i_{2}^{2}=i_{3}^{2}=+1}$，

分裂八元數系（英语：split-octonion）：有基${\displaystyle \{1,i_{1},\dots ,i_{7}\}}$，滿足${\displaystyle \ i_{1}^{2}=i_{2}^{2}=i_{3}^{2}=-1}$，${\displaystyle \ i_{4}^{2}=i_{5}^{2}=i_{6}^{2}=i_{7}^{2}=+1}$。

與複數系不同，分裂複數系並非代數閉，甚至包含非平凡的零因子和冪等元。與四元數系類似，分裂四元數系亦不可交換，但同時還含有冪零元。分裂四元數與二階方陣的代數同構。分裂八元數系不可結合，也含有冪零元。

張量積

兩個代數的張量積仍為代數，如此可構造更多超複數系。

作為例子，取2維實代數${\displaystyle \mathbb {C} }$（複數系）、4維實代數${\displaystyle \mathbb {H} }$（四元數系）、8維實代數${\displaystyle \mathbb {O} }$（八元數系），分別與${\displaystyle \mathbb {C} }$作張量積，依次得4維的雙複數系${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$、8維的複四元數系${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {H} }$、16維的複八元數系${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {O} }$。

其他例子

• 多重複數：其組成複域上的${\displaystyle 2^{n-1}}$維向量空間。
• 複合代數（英语：composition algebra）：賦有二次型的代數，其中二次型與乘法可互換次序。

參見

• 十六元數
• 托馬斯·柯克曼（英语：Thomas Kirkman）
• 格奧爾格·舍費爾（英语：Georg Scheffers）
• 理查德·布饒爾
• 超複分析（英语：Hypercomplex analysis）

注

1. 埃米爾·阿廷其後推廣韋德伯恩的結果，定理因而得名阿廷-韋德伯恩定理。