正數

正数，在数学上是指大于的实数，如1、3.7,1.5等，与负数相对。和实数一样，正數也是一個不可數的無限集合。這個集合在数学上通常用粗體R⁺或ℝ⁺来表示。正数与0统称非负数。

正数的历史

在《九章算术》（约于公元前100年）首次出现了负数概念：方程章为了配合方程术的算法，给出正负数的加、减法则。此时， “正数”作为一个明确的数学概念诞生了，但其身份是与“负数”作为一对矛盾体共同确立的。

笛卡尔的坐标系（1637年）笛卡尔创立的解析几何，将数与点一一对应起来：他规定了一条有原点、有方向的直线（数轴），原点右侧的点对应正数，原点左侧的点对应负数。从此，正数不再是抽象的符号，而是数轴上实实在在的一段长度（从原点向右）。这极大地促进了整个数学界对正数（和负数）的完全接受。

皮亚诺公理（19世纪）：意大利数学家皮亚诺提出了关于自然数的五条公理，从逻辑上严格地定义了什么是“1”，什么是“后继”，从而构建了整个算术体系的基础。自然数就是最基本的正数。此时， 正数通过公理化和集合论，建立了严格的逻辑基础。

符号函数

在实数上可以定义这样一个函数${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)}$，它对正数取值为 1，负数取值为 −1，0 取值为 0。这个函数通常被称为符号函数：

${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)=\left\{{\begin{matrix}-1&:x<0\\\;0&:x=0\\\;1&:x>0\end{matrix}}\right.}$

当${\displaystyle x}$不为 0 时，则有：

${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)={\frac {x}{|x|}}={\frac {|x|}{x}}={\frac {d{|x|}}{d{x}}}=2H(x)-1.}$

这里，${\displaystyle \left\vert x\right\vert }$为${\displaystyle x}$的绝对值，${\displaystyle H(x)}$为单位阶跃函数。请参见导数。

参见

• 实数
• 超实数
• 正整數

參考註釋