阿列夫數

在集合論中，阿列夫數或艾禮富數是一連串超窮基數。其標記符號為 ℵ （由希伯來字母א(aleph)演變而來）加角標表示。

可數集（包括自然數）的勢標記為${\displaystyle \aleph _{0}}$，下一個較大的勢為${\displaystyle \aleph _{1}}$，再下一個是${\displaystyle \aleph _{2}}$，以此類推。一直繼續下來，便可以對任一序數 α 定義一個基數${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$。

這一概念來自於康托尔，他定義了勢，並认识到无穷集合是可以有不同的勢的。

阿列夫數与一般在代數與微積分中出現的無限 (∞) 不同。阿列夫數用来衡量集合的大小，而無限只是在極限的寫法中出現，或是定義成擴展的實數軸上的端點。某些阿列夫數會大於另一些阿列夫數，而無限只是無限而已。

構造性定義

阿列夫數的直觀定義並沒有解釋什麽叫“下一個較大的勢”，也沒有證明是否存在“下一個較大的勢”。即便承認對任意的基數都存在更大的基數，是否存在“下一個較大的勢”使得這個基數和“下一個較大的基數”之間不再有其他的基數仍然是個問題。下面的構造型定義解決這個問題：^:28

• ℵ₀定義從前，它是一個良序集ℕ的序數；
• 考慮良序集^:25按照某种同構關係划出的等價類^:18；
  • 如上定義的等價類有一個特點：可比較^:25，
• 設ℵ_a已定義且是一良序集的基數，考慮：
  1. 由於ℵ_a是某良序集的基數，這個良序集必存在于某個等價類中；一定還有其他基數爲ℵ_a的良序集，這些良序集必將也存在于某個等價類中（可能與上面的同屬同一個等價類，但不一定）。所有這些等價類將做成一集，記爲Z(ℵ_a)。
  2. Z(ℵ_a)也是良序集。^:27
  3. 定義ℵ_a+1:= card(Z(ℵ_a))，它是一個良序集的基數。

阿列夫1

${\displaystyle \aleph _{1}}$是所有可數序數集合的勢，稱為 ω₁或有時為Ω。這個ω₁本身是一個比所有可數序數更大的序數，因此它為一個不可數集。

數“阿列夫”

在中國大陸，實數集的基數常被記爲𝖈或 ℵ，卽 ℵ := ℶ₁，這樣連續統假設就常常被表述爲 ℵ = ℵ₁．閲讀相關讀物時應避免混淆。人們在學數學分析（微積分）時常常以爲自己時常遇到的是阿列夫数，事實上他們遇到的是 “ℵ”或“𝖈”，卽角標爲1的 ℶ 數。除非討論集合論，否則阿列夫数將是最不常用的基數之一。

另見

• 格奧爾格·康托爾
• 基數
• 不可數集合
• 連續統假設：不存在一個基數絕對大於可數集而絕對小於實數集的集合。

註釋

1. 卽……
2. 如果把這樣定義的等價類看成該集合莫須有的“末元素”的話，就把它叫做序數。
3. 基於前面所說的此類等價類的一些性質，這些等價類（或序數）……

外部連結

• 埃里克·韦斯坦因. Aleph-0. MathWorld. 
• aleph numbers at PlanetMath.