艾森斯坦整数

艾森斯坦整数是具有以下形式的复数：

${\displaystyle z=a+b\omega \,\!}$

其中a和b是整数，且

${\displaystyle \omega ={\frac {1}{2}}(-1+i{\sqrt {3}})=e^{\frac {2\pi i}{3}}}$

是三次单位根。艾森斯坦整数在复平面上形成了一个三角形点阵。高斯整数则形成了一个正方形点阵。

艾森斯坦整数环是仅有的九个由${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}})~(D<0)}$中的代数整数构成的主理想环之一。另外的八个分别是${\displaystyle D=-1,-2,-7,-11,-19,-43,-67,-163}$。

性质

艾森斯坦整数在代数数域${\displaystyle \mathbb {Q} (\omega )}$中形成了一个代数数的交换环。每一个${\displaystyle z=a+b\omega }$都是首一多项式

${\displaystyle z^{2}-(2a-b)z+(a^{2}-ab+b^{2}).\,\!}$

的根。特别地，${\displaystyle \omega }$满足以下方程：

${\displaystyle {{{{\omega }^{2}}+{\omega }}+{1}}=0}$

因此，艾森斯坦整数是代数数。

艾森斯坦整数的范数是它的绝对值的平方，由以下的公式给出：

${\displaystyle |a+b\omega |^{2}=a^{2}-ab+b^{2}.\,\!}$

因此它总是整数。由于：

${\displaystyle 4a^{2}-4ab+4b^{2}=(2a-b)^{2}+3b^{2},\,\!}$

因此非零艾森斯坦整数的范数总是正数。

艾森斯坦整数环中的可逆元群，是复平面中六次单位根所组成的循环群。它们是：

${\displaystyle \{\pm 1,\pm \omega ,\pm \omega ^{2}\}}$

它们是范数为一的艾森斯坦整数。

艾森斯坦素数

设${\displaystyle x}$和${\displaystyle y}$是艾森斯坦整数，如果存在某个艾森斯坦整数${\displaystyle z}$，使得${\displaystyle y=zx}$，则我们说${\displaystyle x}$能整除${\displaystyle y}$。

它是整数的整除概念的延伸。因此我们也可以延伸素数的概念：一个非可逆元的艾森斯坦整数${\displaystyle x}$是艾森斯坦素数，如果它唯一的因子是${\displaystyle ux}$的形式，其中${\displaystyle u}$是六次单位根的任何一个。

我们可以证明，任何一个被3除余1的素数都具有形式${\displaystyle x^{2}-xy+y^{2}}$，因此可以分解为${\displaystyle (x+\omega y)(x+\omega ^{2}y)}$。因为这样，它在艾森斯坦整数中不是素数。被3除余2的素数则不能分解为这种形式，因此它们也是艾森斯坦素数。

任何一个艾森斯坦整数${\displaystyle a+b\omega }$，只要范数${\displaystyle a^{2}-ab+b^{2}}$为素数，那么就是一个艾森斯坦素数。实际上，任何一个艾森斯坦整数要么就是这种形式，要么就是一个可逆元和一个被3除余2的素数的乘积。

欧几里德域

艾森斯坦整数环形成了一个欧几里德域，其范数N由以下的公式给出：

${\displaystyle N(a+b\,\omega )=a^{2}-ab+b^{2}.\,\!}$

这是因为：

${\displaystyle {\begin{aligned}N(a+b\,\omega )&=|a+b\,\omega |^{2}\\&=(a+b\,\omega )(a+b\,{\bar {\omega }})\\&=a^{2}+ab(\omega +{\bar {\omega }})+b^{2}\\&=a^{2}-ab+b^{2}\end{aligned}}}$

参见

• 高斯整数