超越數

在數論中，超越數（英語：transcendental number）是指任何一個不是代數數的複數。只要它不是任何一個有理係數代數方程的根，它即是超越數。最著名的例子是自然對數底e以及圓周率π。

幾乎所有的實數和複數都是超越數，這是因為代數數的集合是可數集，而實數和複數的集合是不可數集之故。

定義

超越數是代數數的相反，也即是說若${\displaystyle x}$是一個超越數，那麼對於任何整數${\displaystyle a_{n},a_{n-1},\ldots ,a_{0}}$都符合：

${\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}\neq 0}$

（其中${\displaystyle a_{n}\neq 0}$）

例子

超越數的例子包括：

• 錢珀瑙恩數
• 刘维尔数：${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }10^{-k!}=0.110001000000000000000001000\ldots }$
  它是第一個確認為超越數的數，是於1844年刘维尔發現的。
• 自然對數底${\displaystyle {\boldsymbol {e}}}$（参见：e）。
• ${\displaystyle {\boldsymbol {e}}^{a}}$ ，其中${\displaystyle a}$是除0以外的代數數。
• ${\displaystyle {\boldsymbol {\pi }}}$（参见：圓周率）
  林德曼-魏尔斯特拉斯定理，1882年，注：因${\displaystyle \pi \,}$是超越數而證明尺規作圖中的“化圓為方”的不可實現性。
• ${\displaystyle {\boldsymbol {e^{\pi }}}}$（参见：e的π次方）
• ${\displaystyle 2^{\sqrt {2}}}$（参见：2的√2次方）。
  更一般地，若${\displaystyle a\,}$為零和一以外的任何代數數及${\displaystyle b\,}$為無理代數數則${\displaystyle a^{b}\,}$必為超越數。這就是格尔丰德-施奈德定理。
• ${\displaystyle \sin 1\,}$（参见：正弦）
• ${\displaystyle \ln a\,}$（参见：自然对数），其中${\displaystyle a\,}$為一不等于1的正有理數。
• ${\displaystyle \mathbf {W} (a)\,}$（参见：朗伯W函數），其中${\displaystyle a\,}$為一正有理數。
• ${\displaystyle \Gamma ({\frac {1}{3}})\,}$ ${\displaystyle \left(\approx 2.67894\right)\,}$，${\displaystyle \Gamma ({\frac {1}{4}})\,}$ ${\displaystyle \left(\approx 3.62561\right)\,}$及${\displaystyle \Gamma ({\frac {1}{6}})\,}$ ${\displaystyle \left(\approx 5.56632\right)\,}$（參見伽傌函數）。

所有超越數構成的集是一個不可數集，也就是說，幾乎所有的實數和複數都是超越數；儘管如此，現今發現的超越數極少，甚至连${\displaystyle \pi +e\,}$是不是超越数也不知道，因為要證明一個數是超越數或代數數是十分困難的。

超越數的證明，給數學帶來了大的變革，解決了幾千年來數學上的難題——尺規作圖三大問題，即倍立方問題、三等分任意角問題和化圓為方問題。隨著超越數的發現，這三大問題被證明為不可能。

可能的超越數

以下數仍待證明為超越數或代數數：

• 數 e 和${\displaystyle \pi }$的大多數和、積、冪等等，例如${\displaystyle \pi +e}$, ${\displaystyle \pi -e}$, ${\displaystyle \pi e}$, ${\displaystyle {\frac {\pi }{e}}}$, ${\displaystyle \pi ^{\pi }}$, ${\displaystyle e^{e}}$, ${\displaystyle \pi ^{e}}$, ${\displaystyle \pi ^{\sqrt {2}}}$, ${\displaystyle \pi ^{\pi ^{2}}}$尚未得知是有理數、代數無理數或超越數。值得注意的例外是${\displaystyle \pi +e^{\pi }}$, ${\displaystyle \pi e^{\pi }}$和 ${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {n}}}}$（對於所有正整數 ${\displaystyle n}$）已被證明是超越數
• 欧拉-马歇罗尼常数${\displaystyle \gamma }$，尚未被證明是無理數
• 卡塔兰常数，未被證明是無理數
• 阿培里常数${\displaystyle \zeta (3)}$ ，是无理数
• 黎曼ζ函數在其他奇整數的取值，${\displaystyle \zeta (5),\zeta (7),\ldots }$（尚未被證明是無理數）
• 費根鮑姆常數，${\displaystyle \delta }$與${\displaystyle \alpha }$，皆未证明是否为无理数
• 米尔斯常数，未证明是否为无理数
• 辛钦常数，未证明是否为无理数
• 科普兰-埃尔德什常数，是无理数

猜想：

• Schanuel猜想（英语：Schanuel's conjecture）
• 四指数猜想（英语：Four exponentials conjecture）

簡要地證明${\displaystyle e}$是超越數

第一個對自然對數底 e是超越數的證明可以追溯到1873年。我們現在跟隨的是大卫·希尔伯特的策略。他給出了夏尔·埃尔米特的原始证明的简化。思路如下所示：

為尋找矛盾，假設${\displaystyle e}$是代數數。那就存在一個有限的整係數集${\displaystyle c_{0},c_{1},\ldots ,c_{n}}$滿足下列等式：

${\displaystyle c_{0}+c_{1}e+c_{2}e^{2}+\cdots +c_{n}e^{n}=0,\qquad c_{0},c_{n}\neq 0.}$

現在對於一個正整數${\displaystyle k}$，我們定義如下的多項式：

${\displaystyle f_{k}(x)=x^{k}\left[(x-1)\cdots (x-n)\right]^{k+1},}$

並在上述等式的兩端乘上

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx,}$

於是我們得到等式：

${\displaystyle c_{0}\left(\int _{0}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx\right)+c_{1}e\left(\int _{0}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx\right)+\cdots +c_{n}e^{n}\left(\int _{0}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx\right)=0.}$

該等式可以寫成這種形式

${\displaystyle P+Q=0}$

其中

${\displaystyle P=c_{0}\left(\int _{0}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx\right)+c_{1}e\left(\int _{1}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx\right)+c_{2}e^{2}\left(\int _{2}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx\right)+\cdots +c_{n}e^{n}\left(\int _{n}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx\right)}$

${\displaystyle Q=c_{1}e\left(\int _{0}^{1}f_{k}e^{-x}\,dx\right)+c_{2}e^{2}\left(\int _{0}^{2}f_{k}e^{-x}\,dx\right)+\cdots +c_{n}e^{n}\left(\int _{0}^{n}f_{k}e^{-x}\,dx\right)}$

引理 1. 對於恰當選擇的${\displaystyle k}$， ${\displaystyle {\frac {P}{k!}}}$ 是非零整數。

證明： P 的每一項都是整數乘以階乘的和，這可以從以下的關係式得出

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{j}e^{-x}\,dx=j!}$

對於任何正整數 j 成立（考慮Γ函数）。

它是非零的，因為對於每一個滿足 0< a ≤ n 的 a ，

${\displaystyle c_{a}e^{a}\int _{a}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx}$

中的被積函數均為 e^−x 乘以一些項的和，在積分中用 x - a 替換 x 后， x 的最低冪次是 k+1 。然後這就變成了具有以下形式的積分的和

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{j}e^{-x}\,dx}$

其中 k+1 ≤ j ，而且它是一個能被 (k+1)! 整除的整數。在除以 k! 后，我們得到模 (k+1) 得 0 的數。

現在我們只須考慮a=0的項。我們有：

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx=\int _{0}^{\infty }\left([(-1)^{n}(n!)]^{k+1}e^{-x}x^{k}+\cdots \right)dx}$

於是

${\displaystyle {\frac {1}{k!}}c_{0}\int _{0}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx=c_{0}[(-1)^{n}(n!)]^{k+1}\qquad \mod (k+1).}$

通過選擇 k ，使得 k+1 是大於 n 與 |c₀| 的質數，我們可以得出 ${\displaystyle {\tfrac {P}{k!}}}$ 模 (k+1) 為非零，從而該數為非零整數。

引理 2. 對於充分大的 k ， ${\displaystyle \left|{\tfrac {Q}{k!}}\right|<1}$ 。

證明： 注意到

${\displaystyle f_{k}e^{-x}=x^{k}[(x-1)(x-2)\cdots (x-n)]^{k+1}e^{-x}=\left([x(x-1)\cdots (x-n)]^{k}\right)\left((x-1)\cdots (x-n)e^{-x}\right)}$

使用 ${\displaystyle |x(x-1)\cdots (x-n)|}$ 和 ${\displaystyle |(x-1)\cdots (x-n)e^{-x}|}$ 在區間 [0,n] 的上限 G 和 H ，我們可以推出

${\displaystyle |Q|<G^{k}H(|c_{1}|e+2|c_{2}|e^{2}+\cdots +n|c_{n}|e^{n})}$

由於

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }{\frac {G^{k}}{k!}}=0}$

我們有

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }{\frac {Q}{k!}}=0}$

這點足以完成對引理的證明。

注意可以選擇滿足兩個引理的${\displaystyle k}$，從而我們能得出矛盾。進而得以證明${\displaystyle e}$的超越性。

馬勒的分類

库尔特·马勒（英语：Kurt Mahler）在1932年把超越數分為3類，分別叫做S數、T數和U數。這些類別的定義利用了劉維爾數思想的擴充。

實數的無理性度量

一種定義劉維爾數的方式是考慮對於給定的實數${\displaystyle x}$，可以使得一次多項式${\displaystyle \vert qx-p\vert }$盡可能小但不精確地等於 0 。這裡的${\displaystyle p}$ , ${\displaystyle q}$是滿足${\displaystyle \vert p\vert }$, ${\displaystyle \vert q\vert }$以正整數${\displaystyle H}$為界的整數。

令${\displaystyle m(x,1,H)}$為這些多項式所取的最小非零絕對值，並且令：

${\displaystyle \omega (x,1,H)=-{\frac {\log m(x,1,H)}{\log H}}}$

${\displaystyle \omega (x,1)=\limsup _{H\to \infty }\omega (x,1,H).}$

${\displaystyle \omega (x,1)}$常稱為實數${\displaystyle x}$的無理性度量（measure of irrationality）。對於有理數${\displaystyle \omega (x,1)=0}$，而且對無理數其值至少為1 。劉維爾數可以定義為具有無窮大的無理性度量的數。Thue–Siegel–Roth定理（英语：Thue–Siegel–Roth theorem）表明了實代數無理數的無理性度量均為 1 。

複數的超越性度量

接下來考慮多項式對於複數${\displaystyle x}$的取值，這些多項式係數為整數，次數至多為${\displaystyle n}$，而且高（英语：Height of a polynomial）至多為${\displaystyle H}$，此處的${\displaystyle n}$, ${\displaystyle H}$是正整數。

令${\displaystyle m(x,n,H)}$為以${\displaystyle x}$為變量的上述多項式所取的最小非零值，並且令：

${\displaystyle \omega (x,n,H)=-{\frac {\log m(x,n,H)}{n\log H}}}$

${\displaystyle \omega (x,n)=\limsup _{H\to \infty }\omega (x,n,H).}$

假如對於盡可能小的正整數${\displaystyle n}$，${\displaystyle \omega (x,n)}$為無窮大，則這種情況下複數${\displaystyle x}$稱為${\displaystyle n}$次的U數。

現在我們可以定義

${\displaystyle \omega (x)=\limsup _{n\to \infty }\omega (x,n).}$

${\displaystyle \omega (x)}$常稱為${\displaystyle x}$的超越性度量（measure of transcendence）。假如${\displaystyle \omega (x,n)}$有界，則${\displaystyle \omega (x)}$有限，${\displaystyle x}$稱為S數。如果${\displaystyle \omega (x,n)}$有限而無界，則${\displaystyle x}$稱為T數。${\displaystyle x}$為代數數當且僅當${\displaystyle \omega (x)=0}$。

顯然劉維爾數是U數的子集。威廉·勒维克（英语：William J. LeVeque）在1953年構造了任意次數的U數。劉維爾數是不可數集，從而U數也是。它們的測度為 0 。

T數組成的集合測度亦為 0 。人們花了 35 年時間證明它們存在。沃尔夫冈·M·施密特（英语：Wolfgang M. Schmidt）在 1968 年證明了T數的樣例存在。由是可知幾乎所有複數都是S數。馬勒證明了當${\displaystyle x}$為任意非零代數數時${\displaystyle e^{x}}$均為S數：這點揭示了${\displaystyle e}$是S數且給出了${\displaystyle \pi }$的超越性證明。對於${\displaystyle \pi }$我們至多知道它不是U數。其他更多的超越數仍未歸類。

兩個數${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$稱為代數相關，當存在 2 個變量的整係數非零多項式${\displaystyle P}$滿足${\displaystyle P(x,y)=0}$。一個有力的定理指出，屬於相同馬勒分類的 2 個複數是代數相關的。這允許我們構造新形式的超越數，例如劉維爾數與${\displaystyle e}$或${\displaystyle \pi }$的和。

通常推測 S 代表馬勒的老師卡爾·西格爾（Carl Ludwig Siegel），而 T 和 U 是接下來的兩個字母。

Koksma 的等價分類

Jurjen Koksma（英语：Jurjen Koksma） 在 1939 年提出了基於代數數逼近的另一種分類。

考慮用次數${\displaystyle \leq n}$且高${\displaystyle \leq H}$的代數數逼近複數${\displaystyle x}$。令${\displaystyle \alpha }$為該有限集中滿足${\displaystyle \vert x-\alpha \vert }$取最小正值得代數數。定義${\displaystyle \omega ^{*}(x,H,n)}$和${\displaystyle \omega ^{*}(x,n)}$如下：

${\displaystyle |x-\alpha |=H^{-n\omega ^{*}(x,H,n)-1}.}$

${\displaystyle \omega ^{*}(x,n)=\limsup _{H\to \infty }\omega ^{*}(x,n,H).}$

若對於最小的正整數${\displaystyle n}$，${\displaystyle \omega ^{*}(x,n)}$為無窮大，則稱${\displaystyle x}$為${\displaystyle n}$次的U*數。

若${\displaystyle \omega ^{*}(x,n)}$有界且不收斂到 0 ，則則稱${\displaystyle x}$為S*數，

一個數${\displaystyle x}$被稱為 A*數 ，當${\displaystyle \omega ^{*}(x,n)}$收斂到 0 。

若所有的${\displaystyle \omega ^{*}(x,n)}$均為有限但無界，則稱 x 為T*數，

Koksma和馬勒的分類是等價的，因為它們將超越數以同樣的方式分類。A*數就是代數數。

勒維克的構造

令

${\displaystyle \lambda ={\tfrac {1}{3}}+\sum _{k=1}^{\infty }10^{-k!}}$

可以證明${\displaystyle \lambda }$（劉維爾數）的${\displaystyle n}$次方根是${\displaystyle n}$次的U數。

此構造可以改進以建立${\displaystyle n}$次U數的不可數個系列。令${\displaystyle Z}$為上述${\displaystyle \lambda }$的級數中 10 的冪次的集合。${\displaystyle Z}$所有子集的集合是不可數的。在表示${\displaystyle \lambda }$的級數中刪去任意一個${\displaystyle Z}$的子集，將產生不可數個顯然的劉維爾數，它們每一個的${\displaystyle n}$次方根都是次數為${\displaystyle n}$的U數。

類型

數列${\displaystyle \{\omega (x,n)\}}$的上界稱為類型（type）。幾乎所有實數都是類型為 1 的S數，此類型數在實S數中是最小的。幾乎所有複數都是類型為 1/2 的S數，此類型數在複S數中同樣是最小的。以上判斷對於幾乎所有數成立的猜想由馬勒提出，於 1965 年由 Vladimir Sprindzhuk 證明。

參見

• 多項式
• 無理數
• 代數數
• 林德曼-魏尔斯特拉斯定理