可逆元

单位又被称为可逆元。在數學裡，於一(有单位的)環 ${\displaystyle R\,}$內的可逆元是指一 ${\displaystyle R\,}$的可逆元素，即一元素 ${\displaystyle u\,}$使得存在一於 ${\displaystyle R\,}$內的 ${\displaystyle v\,}$有下列性質： ${\displaystyle uv=vu=1_{R}\,}$，其中 ${\displaystyle 1_{R}\,}$是乘法單位元。

亦即， ${\displaystyle u\,}$是 ${\displaystyle R\,}$內乘法幺半群的一可逆元素。

可逆元群

主条目：单位群

${\displaystyle R\,}$的可逆元組成了一於乘法下的群 ${\displaystyle U(R)\,}$ ，稱做 ${\displaystyle R\,}$的可逆元群（或单位群）。可逆元群 ${\displaystyle U(R)\,}$ 有時亦被標記成 ${\displaystyle R^{*}}$ 或${\displaystyle R^{\times }}$。

在一可交換單作環 ${\displaystyle R\,}$ 內，可逆元群 ${\displaystyle U(R)\,}$ 以乘法作用於 ${\displaystyle R\,}$上頭。此一作用的軌道(orbit)被稱為結合集合；換句話說，存在一於R上的等價關係 ~ ，且當${\displaystyle r\sim s}$時，表示存在一可逆元 ${\displaystyle u}$ 使得 ${\displaystyle r=us}$。

${\displaystyle U}$ 是一由環範疇至群範疇的函子：每一個環同態 ${\displaystyle f:R\rightarrow S}$ 都可導出一群同態 ${\displaystyle U(f):U(R)\rightarrow U(S)}$，當 ${\displaystyle f}$ 會將可逆元映射至可逆元時。此一函數子有為整數群環結構的左伴隨。

一個環 ${\displaystyle R\,}$ 是一個除環若且唯若${\displaystyle R^{*}=R\backslash \{0\}}$。

例子

• 在整數環${\displaystyle \mathbb {Z} }$裡，可逆元為±1。其每一軌道內都有兩個元素n和−n。

• 任一單位根均是某一單作環${\displaystyle R}$內的可逆元。（若${\displaystyle r}$是一單位根，且${\displaystyle r^{n}=1}$，則${\displaystyle r^{-1}=r^{n-1}}$亦為${\displaystyle R}$的元素）。
• 在代數數論裡，狄利克雷单位定理證明了許多代數整數環內可逆元的存在域。例如，在環${\displaystyle \mathbb {Z} ({\sqrt {5}})}$，${\displaystyle ({\sqrt {5}}+2)({\sqrt {5}}-2)=1}$，因此${\displaystyle ({\sqrt {5}}+2),({\sqrt {5}}-2),1}$都是可逆元。
• 在環${\displaystyle M(n,F)}$，於一體${\displaystyle F}$上的${\displaystyle n\times n}$矩陣內，其可逆元恰好就是可逆矩陣。