循环小数

循环小数，也稱為無限循環小數，是從小數部分的某一位起，一個數字或幾個數字，依次不斷地重複出現的小數。

各种各样的数

基本

$\mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C}$

正數 $\mathbb {R} ^{+}$
自然数 $\mathbb {N}$
正整數 $\mathbb {Z} ^{+}$
小数
 有限小数
 无限小数
 循环小数
 有理数 $\mathbb {Q}$
代數數 $\mathbb {A}$
实数 $\mathbb {R}$
複數 $\mathbb {C}$
高斯整數 $\mathbb {Z} [i]$

负数 $\mathbb {R} ^{-}$
整数 $\mathbb {Z}$
负整數 $\mathbb {Z} ^{-}$
分數
 單位分數
 二进分数
 規矩數
 無理數
 超越數
 虚数 $\mathbb {I}$
二次無理數
 艾森斯坦整数 $\mathbb {Z} [\omega ]$

延伸

二元数
 四元數 $\mathbb {H}$
八元数 $\mathbb {O}$
十六元數 $\mathbb {S}$
超實數 $^{*}\mathbb {R}$
大實數
上超實數

雙曲複數
 雙複數
 複四元數
共四元數（英语：Dual quaternion）
超复数
超數
超現實數

其他

質數 $\mathbb {P}$
可計算數
基數
阿列夫數
 同餘
 整數數列
公稱值

規矩數
 可定义数
 序数
 超限数
$p$ 進數
数学常数

圓周率 $\pi =3.14159265$ …
自然對數的底 $e=2.718281828$ …
虛數單位 $i={\sqrt {-{1}}}$
無限大 $\infty$

定義

循環小數都為有理數的小數表示形式，例：

${5 \over 4}=1.25=1.25000000\cdots =1.25{\overline {0}}=1.24999999\cdots =1.24{\overline {9}}$

${1 \over 3}=0.3333333\cdots =0.{\overline {3}}$

${1 \over 7}=0.{\color {red}142857}{\color {blue}142857}\cdots =0.{\overline {142857}}$

性质

一个分母为n的循环小数的循环节位数最多不超过n-1位。若该数为素数，循环节位数一定是N-1的因数（参见：费马伪素数）。為了证明这点，可用反证法。假设 $n$ 的循环节为m，令m>n。将1/n乘以10，循环往复操作，会得到不同的余数。根据余数定义，余数的个数等于分母本身。又因为当余数为0的时候是整数而非循环小数，所以只有n-1种循环节。若长度为m位，则必有(m-n+1)种循环节无法轮替，所以一个分母为n的循环小数的循环节位数最多不超过n-1位。
根據分數 ${\frac {b}{a}}$ 的情況分開討論

1.除数a为

2^{m}\times 5^{n}\times K

的倍數时，

b\div a

有max(m,n)个不循环位数，其中

b

為任意自然數，

K

為非

2^{m},5^{n}

之其他數。

2.如果

1\leqslant b<a

，a不是2或5的倍数，並且a與b互質，那麼存在一個正整數e，e為

b\div a

的循環節位數，而e=

\operatorname {min} \left\{e\in \mathbb {N} :10^{e}\equiv 1{\pmod {a}}\right\}

。

10^{e}\equiv 1{\pmod {a}}

表示

10^{e}-1

可以整除a，或稱

10^{e}

與1同餘）

事實上以該參考文獻的定理一公式推導式子:

{\frac {10^{d}\times b}{a}}=q+{\frac {b}{a}}

來看，

b>a

也成立，例如

{\frac {2}{7}}

與

{\frac {9}{7}}

，兩者循環小數一致，因為

{\frac {8}{7}}=1+{\frac {1}{7}}

，只差別在商，餘數皆為1(同餘)故成立。

3.承接以上兩點，當除数a可以質因數標準分解式表示成

(2^{m}\times 5^{n})\times (P1^{S1}\times P2^{S2}\times

⋯

\times Pn^{Sn})

時，會有max(m,n)個不循環位數，和

E

個循環節位數。

其中，

P1^{S1}

,

P2^{S2}

,⋯,

Pn^{Sn}

分別各有e₁,e₂,...,e_n個循環節位數，存在一個最小公倍數

E=[

e₁,e₂,...,e_n

]

。

例：

{\frac {11}{2^{2}\times 3^{2}\times 5^{3}\times 7\times 17}}

的循環節個數？

答：前三位不循環（2 和 5 的最高次方為 3），循環節個數是 48（因為

3^{2}

的循環節位數為1，7的循環節位數為6，17的循環節位數為16，[1,6,16]=48）

化為分數的方法

0.xxx...=x/((10^(上取(log(x))))-1) (可能未約至最簡)

(⬇另一方法)

先看有幾位「非循環節位數（ ${\color {blue}n\,\!}$ ）」和「循環節位數（ ${\color {red}m\,\!}$ ）」，算出後，將 ${{\begin{matrix}\underbrace {999\cdots 9} \\{\color {red}m\,\!}\end{matrix}}{\begin{matrix}\underbrace {000\cdots 0} \\{\color {blue}n\,\!}\end{matrix}}}$ 擺於「分母」。
「分子」則是將「非循環節部分」和「循環節部分」併為一個數字，將其減去「非循環節部分」，即 $a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}-a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}$ ，詳細公式如下。
公式： $0.a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{\color {blue}n\,\!}{\overline {b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{\color {red}m\,\!}}}={{a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}-a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}} \over {{\begin{matrix}\underbrace {999\cdots 9} \\{\color {red}m\,\!}\end{matrix}}{\begin{matrix}\underbrace {000\cdots 0} \\{\color {blue}n\,\!}\end{matrix}}}}$
原理：
1. 令 $x=0.a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}{\overline {b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}}}$ 。
2. 則 $10^{n}x=a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}.{\overline {b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}}}$ ──①式。
3. $10^{n+m}x=a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}.{\overline {b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}}}$ ──②式。
4. ②－①⇒ $\left(10^{n+m}-10^{n}\right)x=a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}-a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}$ 。
5. ${\begin{aligned}x&={{a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}-a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}} \over {10^{n+m}-10^{n}}}\\&={{a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}-a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}} \over {10^{n}\left(10^{m}-1\right)}}\\&={{a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}-a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}} \over {\begin{matrix}\underbrace {1000\cdots 0} \\n\end{matrix}}\times {\begin{matrix}\underbrace {999\cdots 9} \\m\end{matrix}}}\\&={{a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}-a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}} \over {{\begin{matrix}\underbrace {999\cdots 9} \\m\end{matrix}}{\begin{matrix}\underbrace {000\cdots 0} \\n\end{matrix}}}}\\\end{aligned}}$ 。
範例： $0.1{\overline {23}}={\frac {123-1}{990}}={\frac {61}{495}}$ 。
1. 令 $x=0.1{\overline {23}}$
2. 則 $10x=1.{\overline {23}}$ 、 $1000x=123.{\overline {23}}$
3. 兩式相減得 $\left(1000-10\right)x=123-1$ ， $990x=122\,\!$
4. ∴ $x={\frac {61}{495}}$ 。

计算方法

利用短除法可以将分数(有理数， $\mathbb {Q}$ )转化为循环小数。

例如 ${\frac {3}{7}}$ 可以用短除法计算如下：

7|3.00000000000000000 0.42857142857142857...

表示方法

循环小数在不同国家地区都有不同的表示惯例，但没有一种惯例是通用的。

附有示例的不同符号
分数		括线	上点	括号	弧线	省略号
1/9		0.1	0..1	0.(1)	0.1	0.111...
1/3	= 3/9	0.3	0..3	0.(3)	0.3	0.333...
2/3	= 6/9	0.6	0..6	0.(6)	0.6	0.666...
9/11	= 81/99	0.81	0..8.1	0.(81)	0.81	0.8181...
7/12	= 525/900	0.583	0.58.3	0.58(3)	0.583	0.58333...
1/7	= 142857/999999	0.142857	0..14285.7	0.(142857)	0.142857	0.142857142857...
1/81	= 12345679/999999999	0.012345679	0..01234567.9	0.(012345679)	0.012345679	0.012345679012345679...
22/7	= 3142854/999999	3.142857	3..14285.7	3.(142857)	3.142857	3.142857142857...
593/53	= 111886792452819/9999999999999	11.1886792452830	11..188679245283.0	11.(1886792452830)	11.1886792452830	11.18867924528301886792452830...

括线：在美国、加拿大、印度、法国、德国、意大利、瑞士、捷克共和国、斯洛伐克、斯洛文尼亚、智利和土耳其，惯例是在重复的循环节上方绘制一条水平线（括线）。

上点：在一些伊斯兰国家，如马来西亚、摩洛哥、巴基斯坦、突尼西亚、伊朗、阿尔及利亚和埃及，以及英国、新西兰、澳大利亚、南非、日本、泰国、印度、大韩民国、新加坡和中国，惯例是将点放在重复的循环节最外围的数字上方。

括号：在欧洲的部分地区，包括奥地利、丹麦、芬兰、荷兰、挪威、波兰、俄罗斯和乌克兰，以及越南和以色列，惯例是将重复的循环节放在括号中。这会与标准不确定性（英语：standard uncertainty）的符号混淆。

弧线：在西班牙和一些拉丁美洲国家，例如阿根廷、巴西和墨西哥，括线和上点以重复的循环节上的弧线替代。

省略号：非正式地，重复小数通常用省略号表示（三个句点，0.333…），尤其是在学校首次教授以前的符号惯例时。这种符号会带来不确定性，即哪些数字应该循环，甚至是否会发生循环，因为这种省略号也用于无理数；例如， $π$ 可以表示为3.14159…。

缺点

不唯一性

使用循环小数表示有理数的缺点在于表示方式的不唯一性，例如 $1.000000\cdots =1.{\overline {0}}=0.{\overline {9}}=0.999999\cdots$

与進位制系統密切相关

由于循环小数与進位制系統密切相关，使得一些简单的有理数在循环小数表示法中的表示形式相当复杂。如： ${1 \over 17}=0.{\color {red}0588235294117647}{\color {blue}0588235294117647}\cdots =0.{\overline {0588235294117647}}$

但在某些进位制当中反而因为循环节较短，使得看起来相当简单。如 ${1 \over 17}={1 \over 11}_{(16)}=0.{\color {red}0F}{\color {blue}0F}\cdots _{(16)}=0.{\overline {0F}}_{(16)}$

又或 ${1 \over 17}={1 \over 10}_{(17)}=0.1_{(17)}$

參見

0.999…
Midy定理

定義

性质

化為分數的方法

计算方法

表示方法

缺点

不唯一性

与進位制系統密切相关

參見

外部連結