球 (数学)

球（英語：ball）在數學裡，是指球面內部的空間。球可以是封閉的（包含球面的邊界點，稱為閉球），也可以是開放的（不包含邊界點，稱為開球）。

球的概念不只存在於三維歐氏空間裡，亦存在於較低或較高維度，以及一般度量空間裡。${\displaystyle n\,\!}$維空間裡的球稱為${\displaystyle n\,\!}$維球，且包含於${\displaystyle n-1\,\!}$維球面內。因此，在歐氏平面裡，球為一圓盤，包含在圓內。在三維空間裡，球則是指在二維球面邊界內的空間。

歐氏空間裡的球

在 ${\displaystyle n\,\!}$ 維歐氏空間裡，一個中心為 ${\displaystyle x\,\!}$ ，半徑為 ${\displaystyle r\,\!}$ 的 ${\displaystyle n\,\!}$ 維（開）球是個由所有距 ${\displaystyle x\,\!}$ 的距離小於 ${\displaystyle r\,\!}$ 的點所組成之集合。一個中心為 ${\displaystyle x\,\!}$，半徑為 ${\displaystyle r\,\!}$ 的 ${\displaystyle n\,\!}$ 維閉球是個由所有距 ${\displaystyle x\,\!}$ 的距離小於等於 ${\displaystyle r\,\!}$ 的點所組成之集合。

在 ${\displaystyle n\,\!}$ 維歐氏空間裡，每個球都是某個超球面內部的空間。在一維時，球是個有界的區間；在二維時，是某個圓的內部（圓盤）；而在三維時，則是某個球面的內部。

體積

在 ${\displaystyle n\,\!}$ 維歐氏空間裡，半徑 ${\displaystyle R\,\!}$ 的球之 ${\displaystyle n\,\!}$ 維體積為：

${\displaystyle V_{n}(R)={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}}R^{n},}$

其中，${\displaystyle \Gamma }$是李昂哈德·歐拉的Γ函數（可被視為階乘在實數的延伸）。使用Γ函數在整數與半整數時的公式，可不需要估算${\displaystyle \Gamma }$函數即可計算出球的體積：

${\displaystyle V_{2k}(R)={\frac {\pi ^{k}}{k!}}R^{2k},}$

${\displaystyle V_{2k+1}(R)={\frac {2^{k+1}\pi ^{k}}{(2k+1)!!}}R^{2k+1}={\frac {2(k!)(4\pi )^{k}}{(2k+1)!}}R^{2k+1}.}$

在奇數維度時的體積公式裡，對每個奇數${\displaystyle 2k+1\,\!}$，雙階乘 ${\displaystyle (2k+1)!!}$ 定義為 ${\displaystyle (2k+1)!!=1\cdot 3\cdot 5\cdots (2k-1)\cdot (2k+1)}$。

一般度量空間裡的球

令 ${\displaystyle (M,d)}$為一度量空間，即具有度量（距離函數）${\displaystyle d}$ 的集合 ${\displaystyle M}$。中心為 ${\displaystyle M}$ 內的點 ${\displaystyle p}$，半徑為 ${\displaystyle r>0}$ 的開球，通常標計為 ${\displaystyle B_{r}(p)}$ 或 ${\displaystyle B(p;r)}$，定義為

${\displaystyle B_{r}(p)=\{x\in M\mid d(x,p)<r\},}$

其閉球，可標計為 ${\displaystyle B_{r}[p]}$ 或 ${\displaystyle B[p;r]}$，則定義為

${\displaystyle B_{r}[p]=\{x\in M\mid d(x,p)\leq r\}.}$

請特別注意，一個球（無論開放或封閉）總會包含點 ${\displaystyle p}$，因為依定義， ${\displaystyle r>0}$。

開球的閉包通常標記為 ${\displaystyle {\overline {B_{r}(p)}}}$。雖然 ${\displaystyle B_{r}(p)\subseteq {\overline {B_{r}(p)}}}$ 與 ${\displaystyle {\overline {B_{r}(p)}}\subseteq B_{r}[p]}$ 總是成立的，但 ${\displaystyle {\overline {B_{r}(p)}}=B_{r}[p]}$ 則不一定總是為真。舉例來說，在一個具離散度量的度量空間 X 裡，對每個 X 內的 p 而言，${\displaystyle {\overline {B_{1}(p)}}=\{p\}}$，但 ${\displaystyle B_{1}[p]=X}$。

一個（開或閉）單位球為一半徑為 1 的球。

度量空間的子集是有界的，若該子集包含於某個球內。一個集合是全有界的，若給定一正值半徑，該集合可被有限多個具該半徑的球所覆蓋。

度量空間裡的開球為拓撲空間裡的基，其中所有的開集合均為某些（有限或無限個）開球的聯集。該拓撲空間被稱為由度量 d 導出之拓撲。

賦範向量空間裡的球

每個具範數 |·| 的賦範向量空間亦為一度量空間，其中度量 ${\displaystyle d(x,y)=|x-y|}$。在此類空間裡，每個球 ${\displaystyle B_{r}(p)}$ 均可視為是單位球 ${\displaystyle B_{1}(0)}$ 平移 ${\displaystyle p}$，再縮放 ${\displaystyle r}$ 後所得之集合。

前面討論的歐氏空間裡的球亦為賦範向量空間裡球的一例。

p-範數

在具 p-範數 ${\displaystyle L_{p}}$ 的笛卡爾空間 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 裡，開球是指集合

${\displaystyle B(r)=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}\,:\,\sum _{i=1}^{n}\left|x_{i}\right|^{p}<r^{p}\right\}.}$

在二維（${\displaystyle n=2}$）時，${\displaystyle L_{1}}$（通常稱為曼哈頓度量）的球是對角線平行於坐標軸的正方形；而 ${\displaystyle L_{\infty }}$（切比雪夫度量）的球則是個邊平行於坐標軸的正方形。對於 ${\displaystyle p}$ 的其他值，該球則會是超橢圓的內部。

在三維（${\displaystyle n=3}$）時，${\displaystyle L_{1}}$ 的球是個對角線平行為坐標軸的八面體，而 ${\displaystyle L_{\infty }}$ 的球則是個邊平行為坐標軸的正立方體。對於 ${\displaystyle p}$ 的其他值，該球則會是超橢球的內部。

一般凸範數

更一般性地，給定任一 ${\displaystyle R^{n}}$ 內中心對稱、有界、開放且凸的集合 ${\displaystyle X}$，均可定義一個在 ${\displaystyle R^{n}}$ 的範數，該球均為 ${\displaystyle X}$ 平移再一致縮放後所得之集合。須注意，若將此定理內的「開」子集以「閉」子集替代，則定理不能成立，因為原點也符合定理內所定之集合，但無法定義 ${\displaystyle R^{n}}$ 內的範數。

拓撲空間裡的球

在拓撲學的文獻裡，「球」可能有两種含义，由上下文决定。

開集

“（开）球”一词有时被非正式地用于指代任何开集：可以用“${\displaystyle p}$ 点周围的一个球”代表包含 ${\displaystyle p}$ 的一个开集。该集合同胚于什么依赖于背景拓扑空间以及所选取的开集。同样，“闭球”有时用于表示这样一个开集的闭包。（这可能产生误导，例如超度量空间中一个闭球不是同样半径的开球的闭包，它们都是既开且闭的。）

有时，邻域用于指代这个意义上的球，但是邻域其实有更一般的意义：${\displaystyle p}$ 的一个邻域是任何包含一个 ${\displaystyle p}$ 的开集的集合，因此通常不是开集。

拓撲球

${\displaystyle X}$ 內的 ${\displaystyle n}$ 維（開或閉）拓撲球是指 ${\displaystyle X}$ 內同胚於 ${\displaystyle n}$ 維（開或閉）歐幾里得球的任一子集，該子集不一定需要由某個度量導出。${\displaystyle n}$ 維拓撲球在組合拓撲學裡很重要，為建構胞腔復形的基礎。

任一 ${\displaystyle n}$ 維開拓撲球均同胚於笛卡爾空間 ${\displaystyle \mathrm {R} ^{n}}$ 及 ${\displaystyle n}$ 維開單位超方形 ${\displaystyle (0,1)^{n}\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$。任一 ${\displaystyle n}$ 維閉拓撲球均同胚於 ${\displaystyle n}$ 維閉超方形 ${\displaystyle [0,1]^{n}}$。

${\displaystyle n}$ 維球同胚於 ${\displaystyle m}$ 維球，若且唯若 ${\displaystyle n=m}$。${\displaystyle n}$ 維開球 ${\displaystyle B}$ 與 ${\displaystyle \mathrm {R} ^{n}}$ 間的同胚可分成兩種類型，以 ${\displaystyle B}$ 的兩種可能之拓撲定向來區分。

一個 ${\displaystyle n}$ 維拓撲球不一定是光滑的；若該球是光滑的，亦不一定需微分同胚於一 ${\displaystyle n}$ 維歐幾里得球。

另見

• 球 - 一般常見的意義
• 圓盤
• 形式球，將球的半徑延伸至負值。
• 鄰域
• 三維球面
• n維球面（超球面）
• 亞歷山大帶角球（英语：Alexander horned sphere）
• 流形
• n維球的體積（英语：Volume of an n-ball）
• 正八面體，${\displaystyle \ell _{1}}$ 度量下的三維球
• 球殼（英语：Spherical shell）
• 橢球
• 球缺
• 半球

参见

• 数学主题