邻域

在集合论中，邻域（英語：Neighbourhood）指以点${\displaystyle a}$为中心的任何开区间，记作：${\displaystyle U(a)}$。

在拓扑学和相关的数学领域中，邻域是拓扑空间中的基本概念。直觉上说，一个点的邻域是包含这个点的集合，並且該性質是外延的：你可以稍微“抖动”一下这个点而不离开这个集合。

定义

在集合论中，有以下几种邻域：

${\displaystyle \delta }$邻域：${\displaystyle U(a,\delta )=(a-\delta ,a+\delta )=\left\{x\mid |x-a|<\delta \right\}}$

去心邻域：${\displaystyle U_{0}(a,\delta )=\left\{x\mid 0<|x-a|<\delta \right\}}$

左邻域：${\displaystyle (a-\delta ,a)}$

右邻域：${\displaystyle (a,a+\delta )}$

在拓扑学中，拓扑空间${\displaystyle X}$，${\displaystyle A}$，${\displaystyle B\subseteq X}$，称${\displaystyle B}$是${\displaystyle A}$的邻域，当且仅当以下条件之一成立：

• 存在开集${\displaystyle C}$，使得${\displaystyle A\subseteq C\subseteq B}$。
• ${\displaystyle A\subseteq B^{O}}$。（${\displaystyle B^{O}}$是${\displaystyle B}$的内部）

开邻域，闭邻域

若${\displaystyle B}$是开集，则${\displaystyle B}$称为${\displaystyle A}$的开邻域；若${\displaystyle B}$是闭集，则${\displaystyle B}$称为${\displaystyle A}$的闭邻域。

邻域系统

设${\displaystyle x\in X}$，则${\displaystyle \{x\}}$所有邻域的集合${\displaystyle U(x)}$，称为${\displaystyle x}$（或${\displaystyle \{x\}}$）的邻域系。

注意：某些作者要求邻域是开集，所以在阅读文献时注意约定是很重要的。

如果${\displaystyle S}$是${\displaystyle X}$的子集，${\displaystyle S}$的邻域是集合${\displaystyle V}$，它包含了包含${\displaystyle S}$的开集${\displaystyle U}$。可得出集合${\displaystyle V}$是${\displaystyle S}$的邻域，当且仅当它是在${\displaystyle S}$中的所有点的邻域。

鄰域的度量空间定義

在度量空间${\displaystyle M=(X,d)}$中，集合${\displaystyle V}$是点${\displaystyle p}$的邻域，如果存在以${\displaystyle p}$为中心和半径为${\displaystyle r}$的开球，

${\displaystyle B_{r}(p)=B(p;r)=\{x\in X\mid d(x,p)<r\}}$

它被包含在${\displaystyle V}$中。

一致邻域

${\displaystyle V}$叫做集合${\displaystyle S}$的一致邻域（uniform neighborhood），如果存在正数${\displaystyle r}$使得对于${\displaystyle S}$的所有元素${\displaystyle p}$，

${\displaystyle B_{r}(p)=\{x\in X\mid d(x,p)<r\}}$

被包含在${\displaystyle V}$中。

对于${\displaystyle r>0}$集合${\displaystyle S}$的${\displaystyle r}$-邻域${\displaystyle S_{r}}$是${\displaystyle X}$中与${\displaystyle S}$的距离小于${\displaystyle r}$的所有点的集合（或等价的说${\displaystyle S_{r}}$是以${\displaystyle S}$中一个点为中心半径为${\displaystyle r}$的所有开球的并集）。

可直接得出${\displaystyle r}$-邻域是一致邻域，并且一个集合是一致邻域当且仅当它包含对某个${\displaystyle r}$值的${\displaystyle r}$-邻域。
參見一致空間。

非一致邻域的例子

给定实数集${\displaystyle \mathbb {R} }$带有平常的欧几里得度量和如下定义的子集${\displaystyle V}$

${\displaystyle V:=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }B\left(n\,;\,{\frac {1}{n}}\right)}$，

则${\displaystyle V}$是自然数集合${\displaystyle N}$的邻域，但它不是这个集合的均匀邻域，因為${\displaystyle r={\frac {1}{n}}}$並不是一個固定值。

去心邻域

点 ${\displaystyle p}$ 的去心邻域（英語：deleted neighborhood 或 punctured neighborhood）是点 ${\displaystyle p}$ 的邻域中减去 ${\displaystyle \{p\}}$ 后得到的差集。例如，区间 ${\displaystyle (-1,1)=\{y:-1<y<1\}}$ 是 ${\displaystyle p=0}$ 在实数轴上的邻域，因此集合 ${\displaystyle (-1,0)\cup (0,1)=(-1,1)\setminus \{0\}}$ 是 ${\displaystyle p=0}$ 的一个去心邻域。需注意的是，给定点的去心邻域实际上不是该点的邻域。在讨论函数极限时，会用到去心邻域的概念。

基于邻域的拓扑

上述定义適用於开集的概念早已定义的情況。有另一种方式来定义拓扑，也就是先定义邻域系统，再定义开集：若集中每个点皆有一個邻域被包含於集中，則為開集。

在${\displaystyle X}$上的邻域系统是滤子${\displaystyle N(x)}$（在集合${\displaystyle X}$上）到每个${\displaystyle X}$中的${\displaystyle x}$的指派，使得

1. 点${\displaystyle x}$是每个${\displaystyle N(x)}$中的${\displaystyle U}$的元素，
2. 每个${\displaystyle N(x)}$中的${\displaystyle U}$包含某个${\displaystyle N(x)}$中的${\displaystyle V}$使得对于每个${\displaystyle V}$中的${\displaystyle y}$有着${\displaystyle U}$在${\displaystyle N(y)}$中。

可以证明这两个定义是兼容的，就是说从使用开集定义的邻域系统获得的拓扑就是最初的拓扑，反之从邻域系统出发亦然。

引用

• Kelley, John L. General topology. New York: Springer-Verlag. 1975. ISBN 0387901256. 

• Bredon, Glen E. Topology and geometry. New York: Springer-Verlag. 1993. ISBN 0387979263. 

• Kaplansky, Irving. Set Theory and Metric Spaces. American Mathematical Society. 2001. ISBN 0821826948. 

参见

• 局部基
• 第一可数空间
• 管状邻域