椭球在xyz -笛卡儿坐标系中的方程式：
x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1 {\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}+{z^{2} \over c^{2}}=1} 其中a 和b 是赤道半径（沿着x 和y 轴），c 是极半径（沿着z 轴）。这三个数都是固定的正实数 ，决定了椭球的形状。
如果三个半径都是相等的，那么就是一个球；如果有两个半径是相等的，则是一个类球面。
a = b = c {\displaystyle a=b=c\,\!} 球 ；a = b > c {\displaystyle a=b>c\,\!} 扁球面 （类似盤状）；a = b < c {\displaystyle a=b<c\,\!} 长球面 （类似條状）；a ≠ b , b ≠ c , c ≠ a {\displaystyle a\neq b,b\neq c,c\neq a\!} 不等边 椭球（“三条边都不相等”）。点(a ,0,0)、(0,b ,0)和(0,0,c )都在曲面上。从原点到这三个点的线段，称为椭球的半主轴 。它们与椭圆 的半长轴和半短轴相对应。
使用球坐标系，其中+ θ ′ {\displaystyle {\color {white}+}\!\!\!\theta {\color {white}'}\,\!} 天顶 + φ − {\displaystyle {\color {white}+}\!\!\!\varphi {\color {white}\!\!\!-}\,\!} 方位角
x = a sin θ cos φ ; | y = b sin θ sin φ ; z = c cos θ ; {\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\,\sin \theta \cos \varphi ;\!{\color {white}|}\\y&=b\,\sin \theta \sin \varphi ;\\z&=c\,\cos \theta ;\end{aligned}}\,\!} 0 ≤ θ ≤ 180 ∘ ; 0 ≤ φ ≤ 360 ∘ ; | {\displaystyle {\begin{matrix}0\leq \theta \leq {180}^{\circ };\quad {0}\leq \varphi \leq {360}^{\circ };\!{\color {white}{\big |}}\end{matrix}}\,\!} 使用地理坐标系 ，其中β {\displaystyle \beta \,\!} 参数纬度 ，+ λ ′ {\displaystyle {\color {white}+}\!\!\!\lambda {\color {white}'}\,\!} 经度 ：
x = a cos β cos λ ; | y = b cos β sin λ ; z = c sin β ; {\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\,\cos \beta \cos \lambda ;\!{\color {white}|}\\y&=b\,\cos \beta \sin \lambda ;\\z&=c\,\sin \beta ;\end{aligned}}\,\!} − 90 ∘ ≤ β ≤ 90 ∘ ; − 180 ∘ ≤ λ ≤ 180 ∘ ; | {\displaystyle {\begin{matrix}-90^{\circ }\leq \beta \leq 90^{\circ };\quad -180^{\circ }\leq \lambda \leq 180^{\circ };\!{\color {white}{\big |}}\end{matrix}}\,\!} （注意，当| β = ± 90 ∘ | {\displaystyle \scriptstyle {{\color {white}|}\beta =\pm {90}^{\circ }}{\color {white}|}\,\!}
椭球的体积 由以下公式给出：
4 3 π a b c . {\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi abc.\,\!} 注意，当三个半径都相等时，这个公式便化为球的体积；两个半径相等时，便化为扁球面或长球面的体积。
椭球的表面积由以下公式给出：
S = 2 π [ c 2 + b a 2 − c 2 F ( o ε , b 2 − c 2 b 2 sin 2 o ε ) + b c 2 a 2 − c 2 E ( o ε , b 2 − c 2 b 2 sin 2 o ε ) ] , {\displaystyle S=2\pi \left[c^{2}+b{\sqrt {a^{2}-c^{2}}}F\left(o\!\varepsilon ,{\frac {b^{2}-c^{2}}{b^{2}\sin ^{2}o\!\varepsilon }}\right)+{\frac {bc^{2}}{\sqrt {a^{2}-c^{2}}}}E\left(o\!\varepsilon ,{\frac {b^{2}-c^{2}}{b^{2}\sin ^{2}o\!\varepsilon }}\right)\right],\,\!} 其中
o ε = arccos c a {\displaystyle o\!\varepsilon =\arccos {\frac {c}{a}}\;} arccos a c {\displaystyle \arccos {\frac {a}{c}}\;} 角离心率 ；F ( x , k ) {\displaystyle F(x,k)\,\!} E ( x , k ) {\displaystyle E(x,k)\,\!} 与球的表面积不同，椭球的表面积一般不能用初等函数来表示。
一个近似公式为：
S ≈ 4 π ( a p b p + a p c p + b p c p 3 ) 1 p . {\displaystyle S\approx 4\pi \!\left({\frac {a^{p}b^{p}+a^{p}c^{p}+b^{p}c^{p}}{3}}\right)^{\frac {1}{p}}.\,\!} 其中p ≈ 1.6075 {\displaystyle p\approx 1.6075\,} 1.061 {\displaystyle 1.061\,} p = 8 5 = 1.6 {\displaystyle p={\frac {8}{5}}=1.6\,} 1.178 {\displaystyle 1.178\,}
对于a = b {\displaystyle a=b\,}
扁球面：S = 2 π ( a 2 + c 2 arctanh sin o ε sin o ε ) ; {\displaystyle S=2\pi \!\left(a^{2}+c^{2}{\frac {\operatorname {arctanh} \sin o\!\varepsilon }{\sin o\!\varepsilon }}\right);\,\!} 长球面：S = 2 π ( a 2 + c 2 o ε tan o ε ) ; {\displaystyle S=2\pi \!\left(a^{2}+c^{2}{\frac {o\!\varepsilon }{\tan o\!\varepsilon }}\right);\,\!} c {\displaystyle c\,} a {\displaystyle a\,} b {\displaystyle b\,} 2 π a b . {\displaystyle 2\pi ab.\,\!}
椭球与平面相交的横截面为椭圆。如右图所示，椭圆的两个直径 d 2 {\displaystyle {d_{2}}} d 1 {\displaystyle {d_{1}}}
d 1 , 2 2 = 8 ( 1 − z c 2 ∑ i = 1 3 r i 2 sin 2 p i ) ∑ i = 1 3 cos 2 p i r i 2 ± ( ∑ i = 1 3 cos 2 p i r i 2 ) 2 − 4 ( ∑ i = 1 3 r i 2 sin 2 p i ) / r 1 2 r 2 2 r 3 2 {\displaystyle {d_{1,2}^{2}}={{8(1-{z_{c}^{2} \over {\sum _{i=1}^{3}r_{i}^{2}\sin ^{2}p_{i}}})} \over {\sum _{i=1}^{3}{\cos ^{2}p_{i} \over {r_{i}^{2}}}}\pm {\sqrt {(\sum _{i=1}^{3}{\cos ^{2}p_{i} \over {r_{i}^{2}}})^{2}-4(\sum _{i=1}^{3}r_{i}^{2}\sin ^{2}p_{i})/r_{1}^{2}r_{2}^{2}r_{3}^{2}}}}}
如果我们对球使用可逆的线性变换，便可以得到一个椭球；它可以用旋转的方法来化成以上标准的形式，这是谱定理的结果。如果该线性变换用一个对称的3乘3矩阵来表示的话，那么这个矩阵的特征向量就是正交的（根据谱定理），它表示了轴的方向：而半轴的长度则由特征值给出。
椭球与平面的交集是空集、一个点，或一个椭圆。
我们也可以利用经过线性变换的球来定义多维空间的椭球，并使用谱定理来得出一个标准方程。
均匀密度的椭球的质量 为：
m = ρ V = ρ 4 3 π a b c {\displaystyle m=\rho V=\rho {\frac {4}{3}}\pi abc\,\!} 其中ρ {\displaystyle \rho \,\!}
均匀密度的椭球的转动惯量为：
I x x = m b 2 + c 2 5 {\displaystyle I_{\mathrm {xx} }=m{b^{2}+c^{2} \over 5}} I y y = m c 2 + a 2 5 {\displaystyle I_{\mathrm {yy} }=m{c^{2}+a^{2} \over 5}} I z z = m a 2 + b 2 5 {\displaystyle I_{\mathrm {zz} }=m{a^{2}+b^{2} \over 5}} 其中I x x {\displaystyle I_{\mathrm {xx} }\,\!} I y y {\displaystyle I_{\mathrm {yy} }\,\!} I z z {\displaystyle I_{\mathrm {zz} }\,\!} x 、y 和z 轴的转动惯量。惯性积为零。
容易知道，如果a=b=c，那么上述公式便化为均匀密度的球的转动惯量。
反过来，如果知道了一个任意刚体的质量和主惯性矩，那么就可以构造出一个等价的均匀密度的椭球，使用以下特征：
a = 5 2 I y y + I z z − I x x m {\displaystyle a={\sqrt {{5 \over 2}{I_{\mathrm {yy} }+I_{\mathrm {zz} }-I_{\mathrm {xx} } \over m}}}} b = 5 2 I z z + I x x − I y y m {\displaystyle b={\sqrt {{5 \over 2}{I_{\mathrm {zz} }+I_{\mathrm {xx} }-I_{\mathrm {yy} } \over m}}}} c = 5 2 I x x + I y y − I z z m {\displaystyle c={\sqrt {{5 \over 2}{I_{\mathrm {xx} }+I_{\mathrm {yy} }-I_{\mathrm {zz} } \over m}}}} ρ = 3 4 m π a b c {\displaystyle \rho ={\frac {3}{4}}{m \over \pi abc}\!}
鸡蛋的形状可以近似地认为是半个长球面与半个球在赤道处相拼合而成，共用一个旋转对称的主轴。虽然鸡蛋形 通常意味着在赤道平面没有反射对称，它也可以用来指真正的长球面。它也可以用来描述相应的二维图形。参见鵝蛋形。
Cayley, A. On the geodesic lines on an oblate spheroid. Phil. Mag. 1870, 40 (4th ser.): 329–340. Wu, Jianguo. Inferring 3D Ellipsoids based on Cross-Sectional Images with Applications to Porosity Control of Additive Manufacturing. IISE Transactions. 2018 [2018-03-16 ] . （原始内容存档于2021-08-05）. Egg Curves （页面存档备份，存于互联网档案馆 ） by Jürgen Köller.