在数学 中，极坐标系 （英語：polar coordinate system ）是一个二维 坐标系统 。该坐标系统中任意位置可由一个夹角 和一段相对原点 —极点的距离 来表示。极坐标系的应用领域十分广泛，包括数学 、物理 、工程 、航海 、航空 、電腦 以及机器人领域。在两点间的关系用夹角和距离很容易表示时，极坐标系便显得尤为有用；而在平面直角坐标系中，这样的关系就只能使用三角函数 来表示。对于很多类型的曲线，极坐标方程是最简单的表达形式，甚至对于某些曲线来说，只有极坐标方程能够表示。
希腊人 最早使用了角度和弧度的概念。天文学家喜帕恰斯 （190-120 BC）制成了一张求各角所对弦的弦长函数的表格。并且，曾有人引用了他的极坐标系来确定恒星位置。在螺线方面，阿基米德 描述了他的著名的螺线，一个半径随角度变化的方程。希腊人作出了贡献，尽管最终并没有建立整个坐标系统。
关于是谁首次将极坐标系应用为一个正式的坐标系统，流传着有多种观点。关于这一问题的较详尽历史，哈佛大学 教授朱利安·科利奇（Julian Coolidge Grégoire de Saint-Vincent 抛物线 的长度。
在1671年写成，1736年出版的《流数术和无穷级数》（Method of Fluxions Acta eruditorum Acta eruditorum ）一书中雅各布·伯努利正式使用定点和从定点引出的一条射线，定点称为极点，射线称为极轴。平面内任何一点的坐标都通过该点与定点的距离和与极轴的夹角来表示。伯努利通过极坐标系对曲线的曲率半径进行了研究。
实际上应用“极坐标”（polar coordinate system Gregorio Fontana George Peacock Sylvestre François Lacroix Traité du calcul différentiel et du calcul intégral
亚历克西斯·克莱罗和莱昂哈德·欧拉被认为是将平面极坐标系扩展到三维空间的数学家。
正如所有的二维坐标系，极坐标系也有两个坐标轴：r {\displaystyle r} θ {\displaystyle \theta } 方位角 ，有时也表示为ϕ {\displaystyle \phi } t {\displaystyle t} r {\displaystyle r} θ {\displaystyle \theta } 射线 （有时也称作极轴）的角度，极轴就是在平面直角坐标系 中的x轴正方向。
比如，极坐标中的( 3 , 60 ∘ ) {\displaystyle (3,60^{\circ })} ( − 3 , 240 ∘ ) {\displaystyle (-3,240^{\circ })} ( 3 , 60 ∘ ) {\displaystyle (3,60^{\circ })}
极坐标系中一个重要的特性是，平面直角坐标中的任意一点，可以在极坐标系中有无限种表达形式。通常来说，点 ( r , θ ) {\displaystyle (r,\theta )} ( r , θ ± n × 360 ∘ ) {\displaystyle (r,\theta \pm n\times 360^{\circ })} ( − r , θ ± ( 2 n + 1 ) 180 ∘ ) {\displaystyle (-r,\theta \pm (2n+1)180^{\circ })} n {\displaystyle n} r {\displaystyle r} θ {\displaystyle \theta }
极坐标系中的角度通常表示为角度或者弧度 ，使用公式 2 π rad = 360 ∘ {\displaystyle 2\pi \operatorname {rad} =360^{\circ }} 航海 方面经常使用角度来进行测量，而物理 学的某些领域大量使用到了半径和圆周的比来作运算，所以物理方面更倾向使用弧度。
從极坐标r {\displaystyle r} θ {\displaystyle \theta }
r = y 2 + x 2 {\displaystyle r={\sqrt {y^{2}+x^{2}}}\quad } θ = atan2 ( y , x ) {\displaystyle \theta =\operatorname {atan2} (y,x)\quad } 象限 納入考量的反正切函數）或
θ = { arctan ( y x ) if x > 0 arctan ( y x ) + π if x < 0 and y ≥ 0 arctan ( y x ) − π if x < 0 and y < 0 π 2 if x = 0 and y > 0 − π 2 if x = 0 and y < 0 0 if x = 0 and y = 0 {\displaystyle \theta ={\begin{cases}\arctan({\frac {y}{x}})&{\text{if }}x>0\\\arctan({\frac {y}{x}})+\pi &{\text{if }}x<0{\text{ and }}y\geq 0\\\arctan({\frac {y}{x}})-\pi &{\text{if }}x<0{\text{ and }}y<0\\{\frac {\pi }{2}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y>0\\-{\frac {\pi }{2}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y<0\\0&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y=0\end{cases}}} 从直角坐标x {\displaystyle x} y {\displaystyle y}
x = r cos θ {\displaystyle x=r\cos \theta } y = r sin θ {\displaystyle y=r\sin \theta } 這方程式給出θ {\displaystyle \theta } ( − π , π ] {\displaystyle (-\pi ,\pi ]} ( − 180 ∘ , 180 ∘ ] {\displaystyle (-180^{\circ },180^{\circ }]} ( 0 , 0 ) {\displaystyle (0,0)} + π 2 {\displaystyle +{\frac {\pi }{2}}} + 90 ∘ {\displaystyle +90^{\circ }}
大多數常用程式語言會特別設定一個函數，專門從x {\displaystyle x} y {\displaystyle y} θ {\displaystyle \theta } atan2(y,x)，在Common Lisp裏，標記為(atan y x)。對於這兩種案例，計算結果是在值域( − π , π ] {\displaystyle (-\pi ,\pi ]} θ {\displaystyle \theta } x {\displaystyle x} y {\displaystyle y}
假若需要，將角坐標θ {\displaystyle \theta } ( − π , π ] {\displaystyle (-\pi ,\pi ]} π {\displaystyle \pi } [ 0 , 2 π ) {\displaystyle [0,2\pi )}
函数：用极坐标系描述的曲线 方程称作极坐标方程 ，通常表示为 r {\displaystyle r} θ {\displaystyle \theta } 函数 。 对称：极坐标方程经常会表现出不同的对称 形式，如果 r ( − θ ) = r ( θ ) {\displaystyle r(-\theta )=r(\theta )} r ( π − θ ) = r ( θ ) {\displaystyle r(\pi -\theta )=r(\theta )} r ( θ − α ) = r ( θ ) {\displaystyle r(\theta -\alpha )=r(\theta )} 旋转 α ∘ {\displaystyle \alpha ^{\circ }}
在极坐标系中，圆心在( r 0 , φ ) {\displaystyle (r_{0},\varphi )} a {\displaystyle a}
r 2 − 2 r r 0 cos ( θ − φ ) + r 0 2 = a 2 {\displaystyle r^{2}-2rr_{0}\cos(\theta -\varphi )+r_{0}^{2}=a^{2}} 特定情况：比如方程
r ( θ ) = a {\displaystyle r(\theta )=a} 表示一个以极点为中心半径为 a {\displaystyle a}
设圆的半径为r {\displaystyle r} ( p 0 , α ) {\displaystyle (p_{0},\alpha )} ( p 0 cos α , p 0 sin α ) {\displaystyle (p_{0}\cos \alpha ,p_{0}\sin \alpha )}
( x − p 0 cos α ) 2 + ( y − p 0 sin α ) 2 = r 2 {\displaystyle (x-p_{0}\cos \alpha )^{2}+(y-p_{0}\sin \alpha )^{2}=r^{2}} 设圆上的点的极坐标为( p , β ) {\displaystyle (p,\beta )}
x = p cos β , y = p sin β {\displaystyle x=p\cos \beta ,\qquad y=p\sin \beta } 因此，
p 2 − 2 p p 0 ( sin β sin α + cos β cos α ) + p 0 2 = r 2 {\displaystyle p^{2}-2pp_{0}(\sin \beta \sin \alpha +\cos \beta \cos \alpha )+p_{0}^{2}=r^{2}} 化简为
p 2 + p 0 2 − 2 p p 0 cos ( β − α ) = r 2 {\displaystyle p^{2}+p_{0}^{2}-2pp_{0}\cos(\beta -\alpha )=r^{2}}
过极点的射线方程：
θ = φ {\displaystyle \theta =\varphi } 其中 ϕ {\displaystyle \phi } m {\displaystyle m} 直角坐标系 的射线的斜率 ，则有 ϕ = arctan m {\displaystyle \phi =\arctan m} 垂直 。这些在点 ( r 0 , ϕ ) {\displaystyle (r_{0},\phi )} θ = ϕ {\displaystyle \theta =\phi }
r ( θ ) = r 0 sec ( θ − φ ) {\displaystyle r(\theta )={r_{0}}\sec(\theta -\varphi )}
极坐标的玫瑰线（polar rose
r ( θ ) = a cos k θ {\displaystyle r(\theta )=a\cos k\theta } r ( θ ) = a sin k θ {\displaystyle r(\theta )=a\sin k\theta } 如果 k {\displaystyle k} k {\displaystyle k} k {\displaystyle k} 2 k {\displaystyle 2k} k {\displaystyle k} 圆盘 状图形，且花瓣数也为非整数。注意：该方程不可能产生4的倍数加2（如2，6，10......）个花瓣。变量 a {\displaystyle a}
阿基米德螺线在极坐标里使用以下方程表示：
r ( θ ) = a + b θ {\displaystyle r(\theta )=a+b\theta } 改变参数 a {\displaystyle a} b {\displaystyle b} θ > 0 {\displaystyle \theta >0} θ < 0 {\displaystyle \theta <0}
圆锥曲线 方程如下：
r = ℓ ( 1 − e cos θ ) {\displaystyle r={\ell \over (1-e\cos \theta )}} 其中ℓ {\displaystyle \ell } e 表示离心率 。
如果 e < 1 {\displaystyle e<1} 椭圆 ，如果 e = 1 {\displaystyle e=1} 抛物线 ，如果 e > 1 {\displaystyle e>1} 双曲线 。
r = e p ( 1 − e cos θ ) {\displaystyle r={ep \over (1-e\cos \theta )}} 其中 e {\displaystyle e} 离心率 ，p {\displaystyle p}
由于坐标系统是基于圆环的，所以许多有关曲线的方程，极坐标要比直角坐标系（笛卡尔形式）简单得多。比如伯努利雙紐線，帕斯卡蜗线，还有心臟線。
复数的通常矩形 形式为 a + b i {\displaystyle a+bi}
r ( cos θ + i sin θ ) {\displaystyle r(\cos \theta +i\sin \theta )} r cis θ {\displaystyle r\operatorname {cis} \theta } r e i θ {\displaystyle re^{i\theta }} 等同于欧拉公式。 复数在直角坐标系和极坐标系的變换通过以下公式实现：
a = r cos θ {\displaystyle a=r\cos \theta } b = r sin θ {\displaystyle b=r\sin \theta } 其中r = a 2 + b 2 {\displaystyle r={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}} 复数的乘法 、除法 以及指数 以及开方运算，在极坐标中会比在直角坐标中容易得多，他们分别是：
乘法：( r cis θ ) ∗ ( R cis φ ) = r R cis ( θ + φ ) {\displaystyle (r\operatorname {cis} \theta )*(R\operatorname {cis} \varphi )=rR\operatorname {cis} (\theta +\varphi )} 除法：r cis θ R cis φ = r R cis ( θ − φ ) {\displaystyle {\frac {r\operatorname {cis} \theta }{R\operatorname {cis} \varphi }}={\frac {r}{R}}\operatorname {cis} (\theta -\varphi )} 指数（棣莫弗定理，De Moivre's formula）: ( r cis θ ) n = r n cis ( n θ ) {\displaystyle (r\operatorname {cis} \theta )^{n}=r^{n}\operatorname {cis} (n\theta )}
微积分 可适用于极坐标系下表达的等式。
利用x = r cos θ {\displaystyle x=r\cos \theta } y = r sin θ {\displaystyle y=r\sin \theta } u ( x , y ) {\displaystyle u(x,y)}
r ∂ u ∂ r = r ∂ u ∂ x ∂ x ∂ r + r ∂ u ∂ y ∂ y ∂ r , ∂ u ∂ θ = ∂ u ∂ x ∂ x ∂ θ + ∂ u ∂ y ∂ y ∂ θ , {\displaystyle {\begin{aligned}r{\frac {\partial u}{\partial r}}&=r{\frac {\partial u}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial r}}+r{\frac {\partial u}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial r}},\\[2pt]{\frac {\partial u}{\partial \theta }}&={\frac {\partial u}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial \theta }}+{\frac {\partial u}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial \theta }},\end{aligned}}} 或
r ∂ u ∂ r = r ∂ u ∂ x cos θ + r ∂ u ∂ y sin θ = x ∂ u ∂ x + y ∂ u ∂ y , ∂ u ∂ θ = − ∂ u ∂ x r sin θ + ∂ u ∂ y r cos θ = − y ∂ u ∂ x + x ∂ u ∂ y . {\displaystyle {\begin{aligned}r{\frac {\partial u}{\partial r}}&=r{\frac {\partial u}{\partial x}}\cos \theta +r{\frac {\partial u}{\partial y}}\sin \theta =x{\frac {\partial u}{\partial x}}+y{\frac {\partial u}{\partial y}},\\[2pt]{\frac {\partial u}{\partial \theta }}&=-{\frac {\partial u}{\partial x}}r\sin \theta +{\frac {\partial u}{\partial y}}r\cos \theta =-y{\frac {\partial u}{\partial x}}+x{\frac {\partial u}{\partial y}}.\end{aligned}}} 于是，我们可以得到下述关系：
r ∂ ∂ r = x ∂ ∂ x + y ∂ ∂ y ∂ ∂ θ = − y ∂ ∂ x + x ∂ ∂ y . {\displaystyle {\begin{aligned}r{\frac {\partial }{\partial r}}&=x{\frac {\partial }{\partial x}}+y{\frac {\partial }{\partial y}}\\[2pt]{\frac {\partial }{\partial \theta }}&=-y{\frac {\partial }{\partial x}}+x{\frac {\partial }{\partial y}}.\end{aligned}}} 利用坐标逆变换，可以得到类似的反向关系。给定一函数 u ( r , θ ) {\displaystyle u(r,\theta )}
∂ u ∂ x = ∂ u ∂ r ∂ r ∂ x + ∂ u ∂ θ ∂ θ ∂ x , ∂ u ∂ y = ∂ u ∂ r ∂ r ∂ y + ∂ u ∂ θ ∂ θ ∂ y , {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial u}{\partial x}}&={\frac {\partial u}{\partial r}}{\frac {\partial r}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial \theta }}{\frac {\partial \theta }{\partial x}},\\[2pt]{\frac {\partial u}{\partial y}}&={\frac {\partial u}{\partial r}}{\frac {\partial r}{\partial y}}+{\frac {\partial u}{\partial \theta }}{\frac {\partial \theta }{\partial y}},\end{aligned}}} 或
∂ u ∂ x = ∂ u ∂ r x x 2 + y 2 − ∂ u ∂ θ y x 2 + y 2 = cos θ ∂ u ∂ r − 1 r sin θ ∂ u ∂ θ , ∂ u ∂ y = ∂ u ∂ r y x 2 + y 2 + ∂ u ∂ θ x x 2 + y 2 = sin θ ∂ u ∂ r + 1 r cos θ ∂ u ∂ θ . {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial u}{\partial x}}&={\frac {\partial u}{\partial r}}{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}-{\frac {\partial u}{\partial \theta }}{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}\\[2pt]&=\cos \theta {\frac {\partial u}{\partial r}}-{\frac {1}{r}}\sin \theta {\frac {\partial u}{\partial \theta }},\\[2pt]{\frac {\partial u}{\partial y}}&={\frac {\partial u}{\partial r}}{\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}+{\frac {\partial u}{\partial \theta }}{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}\\[2pt]&=\sin \theta {\frac {\partial u}{\partial r}}+{\frac {1}{r}}\cos \theta {\frac {\partial u}{\partial \theta }}.\end{aligned}}} 于是，
∂ ∂ x = cos θ ∂ ∂ r − 1 r sin θ ∂ ∂ θ ∂ ∂ y = sin θ ∂ ∂ r + 1 r cos θ ∂ ∂ θ . {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial x}}&=\cos \theta {\frac {\partial }{\partial r}}-{\frac {1}{r}}\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\\[2pt]{\frac {\partial }{\partial y}}&=\sin \theta {\frac {\partial }{\partial r}}+{\frac {1}{r}}\cos \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}.\end{aligned}}} 对一条极坐标下曲线 r ( θ ) {\displaystyle r(\theta )} 參數方程 表述该曲线：
x = r ( θ ) cos θ y = r ( θ ) sin θ {\displaystyle {\begin{aligned}x&=r(\theta )\cos \theta \\y&=r(\theta )\sin \theta \end{aligned}}} 把两个等式对 θ {\displaystyle \theta } 求导 ，得到
d x d θ = r ′ ( θ ) cos θ − r ( θ ) sin θ d y d θ = r ′ ( θ ) sin θ + r ( θ ) cos θ . {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx}{d\theta }}&=r'(\theta )\cos \theta -r(\theta )\sin \theta \\[2pt]{\frac {dy}{d\theta }}&=r'(\theta )\sin \theta +r(\theta )\cos \theta .\end{aligned}}} 用第一条等式除第二条，可得曲线在 ( r ( θ ) , θ ) {\displaystyle (r(\theta ),\theta )}
d y d x = r ′ ( θ ) sin θ + r ( θ ) cos θ r ′ ( θ ) cos θ − r ( θ ) sin θ . {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {r'(\theta )\sin \theta +r(\theta )\cos \theta }{r'(\theta )\cos \theta -r(\theta )\sin \theta }}.}
向量微积分也可以应用到极坐标。对于平面运动，令r {\displaystyle \mathbf {r} } ( r cos ( θ ) , r sin ( θ ) ) {\displaystyle (r\cos(\theta ),r\sin(\theta ))} r 与随时间t 变化的θ {\displaystyle \theta } r ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}} r {\displaystyle \mathbf {r} } θ ^ {\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\theta }}}} r {\displaystyle \mathbf {r} }
d r d t = r ˙ r ^ + r θ ˙ θ ^ , {\displaystyle {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}={\dot {r}}{\hat {\mathbf {r} }}+r{\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}},} d 2 r d t 2 = ( r ¨ − r θ ˙ 2 ) r ^ + ( r θ ¨ + 2 r ˙ θ ˙ ) θ ^ . {\displaystyle {\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}=({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}){\hat {\mathbf {r} }}+(r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}){\hat {\boldsymbol {\theta }}}.} 令A {\displaystyle \mathbf {A} } d A {\displaystyle d\mathbf {A} } r {\displaystyle \mathbf {r} } d r {\displaystyle d\mathbf {r} } 平行四边形 区域的一半。
d A = 1 2 | r × d r | {\displaystyle dA={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}|\mathbf {r} \times d\mathbf {r} |} 所以，整个区域就是d A {\displaystyle d\mathbf {A} }
极坐标系可被扩展到三维空间中，形成圆柱坐标系 和球坐标系两个不同的坐标系。
与将直角坐标系 扩展为三维的方法相似，圆柱坐标系 是在二维极坐标系的基础上增添了第三条用于测量高于平面的点的高度的坐标所构成的。这第三条坐标通常也表示为 z {\displaystyle z} ( ρ , ϕ , z ) {\displaystyle (\rho ,\phi ,z)}
通过以下公式，可以從直角坐标變換為圆柱坐标：
x = ρ cos φ {\displaystyle {x}={\rho }\,\cos \varphi } y = ρ sin φ {\displaystyle {y}={\rho }\,\sin \varphi } z = z {\displaystyle {z}={z}}
球坐标系也可以运用坐标( r , θ , ϕ ) {\displaystyle (r,\theta ,\phi )} r {\displaystyle r} θ {\displaystyle \theta } z {\displaystyle z} ϕ {\displaystyle \phi } 经度 和纬度 相似，纬度就是余角θ，取决于 δ = 90 ∘ − θ {\displaystyle \delta =90^{\circ }-\theta } λ = ϕ − 180 ∘ {\displaystyle \lambda =\phi -180^{\circ }}
通过以下公式，可以從直角坐标變換為球坐标：
x = r sin θ cos φ {\displaystyle x=r\,\sin \theta \,\cos \varphi } y = r sin θ sin φ {\displaystyle y=r\,\sin \theta \,\sin \varphi } z = r cos θ {\displaystyle z=r\,\cos \theta }
极坐标通常被用于导航 ，作为旅行的目的地或方向可以作为从所考虑的物体的距离和角度。例如，飞机 使用极坐标的一个略加修改的版本进行导航。这个系统中是一般的用于导航任何种类中的一个系统，在0°射线一般被称为航向360，并且角度是以顺时针方向 继续，而不是逆时针方向，如同在数学系统那样。航向360对应地磁北极，而航向90，180，和270分别对应于磁东，南，西。因此，一架飞机向正东方向上航行5海里 将是在航向90（空中交通管制读作090）上航行5个单位。
有径向对称的系统提供了极坐标系的自然设置，中心点充当了极点。这种用法的一个典型例子是在适用于径向对称的水井时候的地下水流方程 平方反比定律 的引力场 ，以及有点源的系统，如无线电 天线 。
极坐标提供了一个表达在引力场 中开普勒行星运行定律的自然的方法。开普勒第一定律表明，环绕一颗恒星运行的行星轨道形成了一个椭圆 ，这个椭圆的一个焦点在质心 上。上面所给出的二次曲线部分的等式可用于表达这个椭圆。开普勒第二定律表明，连接行星和它所环绕的恒星的线在等时间间隔所划出的区域是面积相等的，即d A d t {\displaystyle d\mathbf {A} \over dt} 牛顿运动定律 推得。在开普勒行星运动定律 中有相关运用极坐标的详细推导。