離心率

離心率（eccentricity，${\displaystyle e}$）又稱偏心率，是指“圆锥曲线上任一点 ${\displaystyle M}$ 到平面内一特定点 ${\displaystyle F}$ 的距离”与“${\displaystyle M}$ 到平面内一不通过 ${\displaystyle F}$ 的特定直线 ${\displaystyle L}$ 的距离”之比。该特定点 ${\displaystyle F}$ 称为焦点（focus），特定直线 ${\displaystyle L}$ 称为准线（directrix）。

设一圆锥曲线 ${\displaystyle C}$ 由 ${\displaystyle C:d(F,M)=e\cdot d(L,M)}$ 定义，其中 ${\displaystyle F}$ 为焦点而 ${\displaystyle L}$ 为准线（详见主条目圆锥曲线），则此时 ${\displaystyle e}$ 称为${\displaystyle C}$ 的离心率。

与焦距和轴长的关系

圆锥曲线之离心率与轴长有下述关系：

${\displaystyle e={\dfrac {c}{a}}}$

其中

• ${\displaystyle c=}$半焦距
• ${\displaystyle a=}$半长轴（椭圆）或半实轴（双曲线）

或采用较融贯的表法：

${\displaystyle e={\sqrt {1-k\cdot {\dfrac {b^{2}}{a^{2}}}}}}$

其中对椭圆取${\displaystyle k=1}$，对抛物线取${\displaystyle k=0}$，对双曲线取${\displaystyle k=-1}$。

圆锥曲线依离心率之分类如下

• 圆：${\displaystyle e=0}$
• 椭圆：${\displaystyle 0<e<1}$
• 抛物线：${\displaystyle e=1}$
• 双曲线：${\displaystyle 1<e<\infty }$

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• 标准椭圆方程：

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$

此时半长轴${\displaystyle =a}$，半短轴${\displaystyle =b}$，焦距${\displaystyle =2c}$，而且

${\displaystyle c^{2}=a^{2}-b^{2}}$

• 标准双曲线方程：

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$

此时半实轴${\displaystyle =a}$，半虚轴${\displaystyle =b}$，焦距${\displaystyle =2c}$，而且

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}}$