曲线

曲（qū）线指动点在空间中运动方向连续变化的轨迹。直线是特殊的曲线。

在现代数学中，曲线的定义是连续函数在拓扑空间上区间的图像。

历史

• 若尔当曲线定理
• 变分法（最速降線問題、等時降線）
• 希爾伯特第十六問題
• 皮亚诺曲线和其他Space-filling curve（英语：Space-filling curve）
• 卷绕数

定义

在数学上，一条曲线的定义为：

设${\displaystyle I=[a,b]}$为一实数区间，即实数集的非空子集，那么曲线${\displaystyle c}$就是一个连续函数${\displaystyle c:I\rightarrow X}$的映射，其中${\displaystyle X}$为一个拓扑空间。

我们常遇到的平面曲线的拓扑空间为${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$。

若f是单射的，则 c是简单曲线（simple curve）。

若${\displaystyle I=[a,b]}$和${\displaystyle f(a)=f(b)}$，f是闭曲线（closed curve）或環圈。

曲线方程

一般来说，当在${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$下一些符合一条方程的点的集合组成一条曲线时，那方程就叫那曲线的曲线方程（curvilinear equation，curve equation）。

例如，${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$是单位圆的曲线方程，因为有且仅有单位圆上的点符合这条方程；因这些点组成一个单位圆，故该方程正代表着平面上的单位圆。

曲线长度

若${\displaystyle \gamma (t):[a,b]\to X\subset R^{n}}$，则其长度是

$${\displaystyle L(\gamma )=\int _{a}^{b}\left|\gamma '(t)\right|\mathrm {d} t}$$

平面曲线

例如，若一条平面曲线可表达成标准方程${\displaystyle y=f(x)}$，那么它的长度就是：

$${\displaystyle \int _{a}^{b}{{\sqrt {\left[f'\left(x\right)\right]^{2}+1}}\;{\rm {d}}x}}$$

其中${\displaystyle a\,}$、${\displaystyle b\,}$为${\displaystyle x\,}$的上下限。

若平面曲线可表达成参数方程${\displaystyle x(t),y(t)}$，那么它的长度就是：

$${\displaystyle \int _{\alpha }^{\beta }{{\sqrt {\left({x'}\right)^{2}+\left({y'}\right)^{2}}}{\rm {d}}t}}$$

其中${\displaystyle \alpha \,}$、${\displaystyle \beta \,}$为${\displaystyle t\,}$的上下限。

参考

1. In (rather old) French: "La ligne est la première espece de quantité, laquelle a tant seulement une dimension à sçavoir longitude, sans aucune latitude ni profondité, & n'est autre chose que le flux ou coulement du poinct, lequel […] laissera de son mouvement imaginaire quelque vestige en long, exempt de toute latitude." Pages 7 and 8 of Les quinze livres des éléments géométriques d'Euclide Megarien, traduits de Grec en François, & augmentez de plusieurs figures & demonstrations, avec la corrections des erreurs commises és autres traductions, by Pierre Mardele, Lyon, MDCXLV (1645).
2. 几何学分支编写组. 曲线. 《中国大百科全书》第三版. 
3. 《数学辞海》编辑委员会 (编). 数学辞海. 第一卷. 北京: 中国科学技术出版社. 2002: 414. }