拓扑学

拓撲學（英語：Topology，也作拓樸學、意譯位相幾何學）是一門研究拓撲空間的領域，主要研究空間內在連續變化下維持不變的性質。在拓撲學裡，重要的拓撲性質包括連通性與緊緻性。

拓撲學是由幾何學與集合論裡發展出來的學科，研究空間、維度與變換等概念。這些詞彙的來源可追溯至萊布尼茲，他在17世紀提出「位置的幾何學」（geometria situs）和「位相分析」（analysis situs）的說法。莱昂哈德·歐拉的柯尼斯堡七橋問題與歐拉示性數被認為是該領域最初的定理。「拓撲學」一詞由利斯廷於19世紀提出，雖然直到20世紀初，拓撲空間的概念才開始發展起來。到了20世紀中葉，拓撲學已成為數學的一大分支。

拓撲學有許多子領域：

• 一般拓撲學建立拓撲的基礎，並研究拓撲空間的性質，以及與拓撲空間相關的概念。一般拓撲學亦被稱為點集拓撲學，被用於其他數學領域（如緊緻性與連通性等主題）之中。
• 代數拓撲學運用同調與同倫群等代數結構量測連通性的程度。
• 微分拓撲學研究在微分流形上的可微函數，與微分幾何密切相關，並一齊組成微分流形的幾何理論。
• 幾何拓撲學主要研究流形與其對其他流形的嵌入。幾何拓撲學中一個特別活躍的領域為「低維拓撲學」，研究四維以下的流形。幾何拓撲學亦包括「紐結理論」，研究數學上的紐結。

歷史

拓撲學開始於對幾何上特定問題的研究。李昂哈德·歐拉於1736年有關柯尼斯堡七橋問題的論文被認為是現代拓撲學的第一份學術著作。

「拓撲學」一詞於1847年由利斯廷在《Vorstudien zur Topologie》一書中提出。拓撲學的英文於1883年在自然雜誌上對利斯廷的訃文中第一次出現，用來區分「...定性的幾何學，於主要被以定量關係對待的一般幾何學中」。不過，上述用詞都與現代對拓撲學的定義不完全相同。

現代拓撲學主要依靠集合論的概念。集合論由格奧爾格·康托爾於19世紀後半所發展。除了建立起集合論的基本概念外，康托爾亦將歐氏空間裡的點集合作為他對傅立葉級數之研究的一部分。

儒勒·昂利·龐加萊於1895年發表論文《相位分析》（Analysis Situs），引進同倫與同調的概念，這些概念現在被認為是代數拓撲的一部分。

統合格奧爾格·康托爾、維多·沃爾泰拉、西薩爾·阿爾澤拉、雅克·阿達馬與朱利奧·阿斯科利等人對函數空間的成果，莫里斯·弗雷歇於1906年引入度量空間的概念。度量空間現在被認為是一般拓撲空間的特例。於1914年，費利克斯·豪斯多夫提出「拓撲空間」一詞，並給出現代稱之豪斯多夫空間的定義。今日的拓撲空間之定義為豪斯多夫空間稍微的推廣，由卡齊米日·庫拉托夫斯基於1922年所給出。

中文譯名

中國第一本拓撲學書籍，是江澤涵由德語著作翻譯，書名譯為《拓撲學》，於1947年出版。按江澤涵所述，他不是創造「拓撲學」名詞的人，在1939年他在西南聯大授課時，用的名詞是「形勢幾何學」，後來姜立夫提議，因為「想找出一个合适名词来刻划这门学科是没有可能的」，於是仿照「幾何學」音譯geometry的辦法，使用音譯的「拓撲學」。首先創造譯名者，可能是姜立夫，也可能是陳省身。陳省身在《學算六十年》回憶文章中說：「姜[立夫]先生1946年去美，创所工作便落在我的身上。我着重于“训练新人”。最初一批研究人员，大多是大学新毕业的学生。我每周讲12小时的课，授“拓扑学”（拓扑译名即是那时起的）。」

簡介

拓撲學可定義為「對特定物件（稱為拓撲空間）在特定變換（稱為連續映射）下不變之性質的研究，尤其是那些在特定可逆變換（稱為同胚）下不變之性質。」

拓撲被用來指附加於一集合 ${\displaystyle X}$ 上的結構，該結構基本上會將集合 ${\displaystyle X}$ 描繪成一拓撲空間，使之能處理在變換下的收斂性、連通性與連續性等性質。

拓撲空間幾乎會自然地出現在數學的每個分支裡。這使得拓撲學成為數學中的重要統合概念之一。

激勵拓撲學裡的洞見來自於一些不依靠物件實際形狀，而是其組織方式的幾何問題。例如，正方形與圓形有許多共通之性質：兩者在拓撲學看来均為一維物件，且都能將平面分成外部及內部兩個部分。

在拓撲學的第一篇論文中，李昂哈德·歐拉證明，在七座橋都恰只通過一次的情況下，不可能找到一條通過柯尼斯堡（現為加里寧格勒）的路。此一結論不依靠橋的長度，以及其之間的距離，而只與其連通性質有關：哪座橋會連接哪兩座島與河岸。這個問題被稱為柯尼斯堡七橋問題，且導致了圖論的發展。