可对角化矩阵 是可化簡為对角矩阵 的方阵 。矩阵對角化后大幅降低了某些属性的計算難度，比如其行列式 就是对角線上所有數字的乘積，而对角線上的數字就是其特征值。
线性代数 A = [ 1 2 3 4 ] {\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}} 向量 · 向量空间 · 基底 · 行列式 · 矩阵
可對角化也使该线性变换的几何意义更直觀，因為每個线性变换 都可以對應到一個矩陣，所以将矩阵对角化等價於找到一组基底 ，使的线性变换的作用僅僅是伸缩基底向量而已。類似的，若用对角矩阵表示差分方程组或者微分方程组的係數的話，這樣每條等式只含有一個未知函数，這樣也大幅度了化簡了方程式的難度。
若尔当-谢瓦莱分解表达一个算子为它的对角部分与它的幂零部分的和。
定義 — A ∈ K n × n {\displaystyle A\in K^{n\times n}} K {\displaystyle K} n {\displaystyle n} 方阵 ，若存在一个 n {\displaystyle n} 可逆方阵 P ∈ K n × n {\displaystyle P\in K^{n\times n}}
P − 1 A P {\displaystyle P^{-1}AP} 是对角矩阵 ，则 A {\displaystyle A} 可对角化 的。
定義 — V {\displaystyle V} W {\displaystyle W} K {\displaystyle K} 向量空间 ，若存在 V {\displaystyle V} 基底 B V {\displaystyle {\mathfrak {B}}_{V}} W {\displaystyle W} 基底 B W {\displaystyle {\mathfrak {B}}_{W}} 线性映射 T : V → W {\displaystyle T:V\to W} T = [ T ] B W B V {\displaystyle \mathbf {T} ={[T]}_{{\mathfrak {B}}_{W}}^{{\mathfrak {B}}_{V}}} T {\displaystyle T} 可对角化 的。
关于可对角化映射和矩阵的基本事实可表达为如下:
在域 F 上的 n × n 矩阵 A 是可对角化的，当且仅当它的特征空间的和的维度等于 n ，它为真当且仅当存在由 A 的特征向量组成的 F n 基向量 作为纵列的矩阵 P ，而 P -1 AP 将是对角矩阵。这个矩阵的对角元素是 A 的特征值。 线性映射 T : V → V 是可对角化的，当且仅当它的特征空间的维度等于 dim(V )，它为真当且仅当存在由 T 的特征向量组成的 V 的基。T 关于这个基将表示为对角矩阵。这个矩阵的对角元素是 T 的特征值。 另一个特征化: 矩阵或线性映射在域 F 上可对角化的，当且仅当它的极小多项式在 F 上有不同的线性因子。
下列充分(但非必要)条件经常是有用的。
n × n 矩阵 A 只在域 F 上可对角化的，如果它在 F 中有 n 个不同的特征值，就是说，如果它的特征多项式在 F 中有 n 个不同的根。线性映射 T : V → V 带有 n =dim(V ) 是可对角化的，如果它有 n 个不同的特征值，就是说它的特征多项式在 F 中有 n 个不同的根。 作为经验规则，在复数域 C 上几乎所有矩阵都是可对角化的。更精确地说: 在 C 上不可对角化的复数 n × n 矩阵的集合被当作 C n ×n 勒贝格测度 的零集。也可以说可对角化矩阵形成了关于 扎里斯基拓扑的稠密子集 : 补位于特征多项式的判别式 变为零的集合内，後者是超平面 。从中得出的还有在平常的(强拓扑)中密度由范数 给出。
对于 R 域就不是这样了。随着 n 增长，随机选择的实数矩阵是在 R 上可对角化的可能性越来越小。
对合在实数上(甚至特征不是 2 的任何域)是可对角化的，带有 1 和 -1 在对角线上。 有限阶自同态(包括对合)是在复数，或域的特征不整除自同态的阶的任何代数闭合域(因为单位一的根是不同的)是可对角化的，带有单位根 在对角线上。这是循环群的表示理论的一部分。 投影 是可对角化的，带有 0 和 1 在对角线上。
某些矩阵在任何域上都是不可对角化的，最著名的是幂零矩阵。如果特征值的几何重次和代数重次不一致，这会更一般的出现。例如考虑
C = [ 0 1 0 0 ] {\displaystyle C={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}} 这个矩阵是不可对角化的: 没有矩阵 U 使得 U − 1 C U {\displaystyle U^{-1}CU} C 有一个特征值(就是零)而这个特征值有代数重次 2 和几何重次 1。
某些实数矩阵在实数上是不可对角化的。例如考虑
B = [ 0 1 − 1 0 ] {\displaystyle B={\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}} 矩阵 B 没有任何实数特征值，所以没有实数矩阵 Q 使得 Q − 1 B Q {\displaystyle Q^{-1}BQ} B {\displaystyle B}
Q = [ 1 i i 1 ] {\displaystyle Q={\begin{bmatrix}1&{\textrm {i}}\\{\textrm {i}}&1\end{bmatrix}}} 则 Q − 1 B Q {\displaystyle Q^{-1}BQ}
考虑矩阵
A = [ 1 2 0 0 3 0 2 − 4 2 ] {\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2&0\\0&3&0\\2&-4&2\end{bmatrix}}} 这个矩阵有特征值
λ 1 = 3 , λ 2 = 2 , λ 3 = 1 {\displaystyle \lambda _{1}=3,\quad \lambda _{2}=2,\quad \lambda _{3}=1} 所以 A 是有三个不同特征值的 3 × 3 矩阵，所以它是可对角化的。
如果我们要对角化 A ，我们需要计算对应的特征向量。它们是
v 1 = [ − 1 − 1 2 ] v 2 = [ 0 0 1 ] v 3 = [ − 1 0 2 ] {\displaystyle v_{1}={\begin{bmatrix}-1\\-1\\2\end{bmatrix}}\quad v_{2}={\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}}\quad v_{3}={\begin{bmatrix}-1\\0\\2\end{bmatrix}}} 我们可以轻易的验证 A v k = λ k v k {\displaystyle Av_{k}=\lambda _{k}v_{k}}
现在，设 P 是由这些特征向量作为纵列的矩阵:
P = [ − 1 0 − 1 − 1 0 0 2 1 2 ] {\displaystyle P={\begin{bmatrix}-1&0&-1\\-1&0&0\\2&1&2\end{bmatrix}}} 则 P 对角化了 A ，简单的计算可验证:
P − 1 A P = [ 0 − 1 0 2 0 1 − 1 1 0 ] [ 1 2 0 0 3 0 2 − 4 2 ] [ − 1 0 − 1 − 1 0 0 2 1 2 ] = [ 3 0 0 0 2 0 0 0 1 ] {\displaystyle P^{-1}AP={\begin{bmatrix}0&-1&0\\2&0&1\\-1&1&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&2&0\\0&3&0\\2&-4&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-1&0&-1\\-1&0&0\\2&1&2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3&0&0\\0&2&0\\0&0&1\end{bmatrix}}} 注意特征值 λ k {\displaystyle \lambda _{k}}
对角化可被用来有效的计算矩阵 A 的幂，假如矩阵是可对角化的。比如我们找到了
P − 1 A P = D {\displaystyle P^{-1}AP=D\ } 是对角矩阵，因为矩阵的积是结合的，
A k = ( P D P − 1 ) k = ( P D P − 1 ) ⋅ ( P D P − 1 ) ⋯ ( P D P − 1 ) = P D ( P − 1 P ) D ( P − 1 P ) ⋯ ( P − 1 P ) D P − 1 = P D k P − 1 {\displaystyle {\begin{aligned}A^{k}&=(PDP^{-1})^{k}=(PDP^{-1})\cdot (PDP^{-1})\cdots (PDP^{-1})\\&=PD(P^{-1}P)D(P^{-1}P)\cdots (P^{-1}P)DP^{-1}=PD^{k}P^{-1}\end{aligned}}} 而后者容易计算，因为它只涉及对角矩阵的幂。
在找到线性递归序列比如斐波那契数列 的项的闭合形式的表达中这是非常有用的。
例如，考虑下列矩阵:
M = [ a b − a 0 b ] {\displaystyle M={\begin{bmatrix}a&b-a\\0&b\end{bmatrix}}} 计算 M 个各次幂揭示了一个惊人的模式:
M 2 = [ a 2 b 2 − a 2 0 b 2 ] , M 3 = [ a 3 b 3 − a 3 0 b 3 ] , M 4 = [ a 4 b 4 − a 4 0 b 4 ] , … {\displaystyle M^{2}={\begin{bmatrix}a^{2}&b^{2}-a^{2}\\0&b^{2}\end{bmatrix}},\quad M^{3}={\begin{bmatrix}a^{3}&b^{3}-a^{3}\\0&b^{3}\end{bmatrix}},\quad M^{4}={\begin{bmatrix}a^{4}&b^{4}-a^{4}\\0&b^{4}\end{bmatrix}},\quad \ldots } 上面的现象可以通过对角化 M 来解释。要如此我们需要由 M 的特征向量组成的 R 2 的基。一个这样的特征向量基给出自
u = [ 1 0 ] = e 1 , v = [ 1 1 ] = e 1 + e 2 {\displaystyle \mathbf {u} ={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}=\mathbf {e} _{1},\quad \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}=\mathbf {e} _{1}+\mathbf {e} _{2}} 这里的 e i 指示 R n 的标准基。 逆的基变更给出自
e 1 = u , e 2 = v − u {\displaystyle \mathbf {e} _{1}=\mathbf {u} ,\qquad \mathbf {e} _{2}=\mathbf {v} -\mathbf {u} } 直接计算证实
M u = a u , M v = b v {\displaystyle M\mathbf {u} =a\mathbf {u} ,\qquad M\mathbf {v} =b\mathbf {v} } 所以，a 和 b 是分别是对应于 u 和 v 的特征值。 根据矩阵乘法的线性，我们有
M n u = a n u , M n v = b n v {\displaystyle M^{n}\mathbf {u} =a^{n}\,\mathbf {u} ,\qquad M^{n}\mathbf {v} =b^{n}\,\mathbf {v} } 切换回标准基，我们有
M n e 1 = M n u = a n e 1 {\displaystyle M^{n}\mathbf {e} _{1}=M^{n}\mathbf {u} =a^{n}\mathbf {e} _{1}} M n e 2 = M n ( v − u ) = b n v − a n u = ( b n − a n ) e 1 + b n e 2 {\displaystyle M^{n}\mathbf {e} _{2}=M^{n}(\mathbf {v} -\mathbf {u} )=b^{n}\mathbf {v} -a^{n}\mathbf {u} =(b^{n}-a^{n})\mathbf {e} _{1}+b^{n}\mathbf {e} _{2}} 前面的关系用矩阵形式表达为
M n = [ a n b n − a n 0 b n ] {\displaystyle M^{n}={\begin{bmatrix}a^{n}&b^{n}-a^{n}\\0&b^{n}\end{bmatrix}}} 因此解释了上述现象。
Roger A. Horn and Charles R. Johnson, Matrix Analysis , Chapter 1, Cambridge University Press, 1985. ISBN 0-521-30586-1 (hardback), ISBN 0-521-38632-2 (paperback). 维基百科, wiki, wikipedia, 百科全书, 书籍, 图书馆, 文章, 阅读, 免费下载, 关于 可对角化矩阵 的信息, 什么是 可对角化矩阵？可对角化矩阵 是什么意思？