在线性代数 中，一個n × n {\displaystyle n\times n} 矩陣 A {\displaystyle \mathbf {A} } 跡 （或跡數 ），是指A {\displaystyle \mathbf {A} } 總和 ，一般記作tr ( A ) {\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {A} )} Sp ( A ) {\displaystyle \operatorname {Sp} (\mathbf {A} )}
线性代数 A = [ 1 2 3 4 ] {\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}} 向量 · 向量空间 · 基底 · 行列式 · 矩阵 矩阵与行列式 矩阵 ·行列式 ·线性方程组 ·秩 · 核 ·跡 ·單位矩陣 ·初等矩阵 ·方块矩阵 · 分块矩阵 ·三角矩阵 ·非奇异方阵 · 转置矩阵 ·逆矩阵 · 对角矩阵 ·可对角化矩阵 ·对称矩阵 · 反對稱矩陣 · 正交矩阵 · 幺正矩阵 ·埃尔米特矩阵 · 反埃尔米特矩阵 · 正规矩阵 · 伴随矩阵 · 余因子矩阵 · 共轭转置 · 正定矩阵 ·幂零矩阵 · 矩阵分解 （LU分解 · 奇异值分解 · QR分解 · 极分解 · 特征分解） · 子式和余子式 · 拉普拉斯展開 · 克罗内克积
线性空间与线性变换 线性空间 ·线性变换 ·线性子空间 · 线性生成空间 · 基 · 线性映射 ·线性投影 · 線性無關 · 线性组合 ·线性泛函 · 行空间与列空间 · 对偶空间 · 正交 ·特征向量 · 最小二乘法 · 格拉姆-施密特正交化
tr ( A ) = ∑ i = 1 n A i , i = A 1 , 1 + A 2 , 2 + ⋯ + A n , n {\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {A} )=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {A} _{i,i}=\mathbf {A} _{1,1}+\mathbf {A} _{2,2}+\cdots +\mathbf {A} _{n,n}} 其中A i , j {\displaystyle \mathbf {A} _{i,j}} i {\displaystyle i} j {\displaystyle j}
跡的英文 為trace 德文 中的Spur Spoor
設有矩陣：
A = [ 3 5 1 0 9 2 7 6 4 ] {\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}3&5&1\\0&9&2\\7&6&4\end{bmatrix}}}
它的跡是：
tr ( A ) = tr [ 3 5 1 0 9 2 7 6 4 ] = 3 + 9 + 4 = 16 {\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {A} )=\operatorname {tr} {\begin{bmatrix}3&5&1\\0&9&2\\7&6&4\end{bmatrix}}=3+9+4=16}
給定一個環R {\displaystyle \mathbb {R} } n × n {\displaystyle n\times n} M n ( R ) {\displaystyle {\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {R} )} R {\displaystyle \mathbb {R} } n × n {\displaystyle n\times n} A {\displaystyle \mathbf {A} } B {\displaystyle \mathbf {B} } r {\displaystyle r}
t r ( A + B ) = t r ( A ) + t r ( B ) {\displaystyle \mathrm {tr} (\mathbf {A} +\mathbf {B} )=\mathrm {tr} (\mathbf {A} )+\mathrm {tr} (\mathbf {B} )} t r ( r ⋅ A ) = r ⋅ t r ( A ) {\displaystyle \mathrm {tr} (r\cdot \mathbf {A} )=r\cdot \mathrm {tr} (\mathbf {A} )} 更進一步來說，當R {\displaystyle \mathbb {R} } t r {\displaystyle \mathrm {tr} } n × n {\displaystyle n\times n} M n ( R ) {\displaystyle {\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {R} )}
由於一個矩陣A {\displaystyle \mathbf {A} } A T {\displaystyle \mathbf {A} ^{T}}
t r ( A ) = t r ( A T ) {\displaystyle \mathrm {tr} (\mathbf {A} )=\mathrm {tr} \left(\mathbf {A} ^{T}\right)}
設A {\displaystyle \mathbf {A} } n × m {\displaystyle n\times m} B {\displaystyle \mathbf {B} } m × n {\displaystyle m\times n}
t r ( A B ) = t r ( B A ) {\displaystyle \mathrm {tr} (\mathbf {AB} )=\mathrm {tr} (\mathbf {BA} )} 其中A B {\displaystyle \mathbf {AB} } n × n {\displaystyle n\times n} B A {\displaystyle \mathbf {BA} } m × m {\displaystyle m\times m}
上述的性質可以由矩陣乘法的定義證明：
t r ( A B ) = ∑ i = 1 n ( A B ) i , i = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 m A i , j B j , i = ∑ j = 1 m ∑ i = 1 n B j , i A i , j = ∑ j = 1 m ( B A ) j , j = t r ( B A ) {\displaystyle \mathrm {tr} (\mathbf {AB} )=\sum _{i=1}^{n}(\mathbf {AB} )_{i,i}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{m}\mathbf {A} _{i,j}\mathbf {B} _{j,i}=\sum _{j=1}^{m}\sum _{i=1}^{n}\mathbf {B} _{j,i}\mathbf {A} _{i,j}=\sum _{j=1}^{m}(\mathbf {BA} )_{j,j}=\mathrm {tr} (\mathbf {BA} )} 如果A {\displaystyle \mathbf {A} } B {\displaystyle \mathbf {B} } n × n {\displaystyle n\times n} 方形矩陣 ，那麼它們的乘積A B {\displaystyle \mathbf {AB} } B A {\displaystyle \mathbf {BA} } 循環 改變乘積中方形矩陣相乘的順序，而最終的結果不變。例如，有三個方形矩陣A {\displaystyle \mathbf {A} } B {\displaystyle \mathbf {B} } C {\displaystyle \mathbf {C} }
t r ( A B C ) = t r ( B C A ) = t r ( C A B ) {\displaystyle \mathrm {tr} (\mathbf {ABC} )=\mathrm {tr} (\mathbf {BCA} )=\mathrm {tr} (\mathbf {CAB} )} 但是要注意：
t r ( A B C ) ≠ t r ( A C B ) {\displaystyle \mathrm {tr} (\mathbf {ABC} )\neq \mathrm {tr} (\mathbf {ACB} )} 更一般地，乘積中的矩陣不一定要是方形矩陣，只要某一個循環改變後的乘積依然存在，那麼得到的跡數依然會和原來的跡數相同。
另外，如果A {\displaystyle \mathbf {A} } B {\displaystyle \mathbf {B} } C {\displaystyle \mathbf {C} } 方陣 而且還是對稱矩陣 的話，那麼其乘積的跡数不只在循環置換下不會改變，而且在所有的置換下都不會改變：
t r ( A B C ) = t r ( B C A ) = t r ( C A B ) = t r ( A C B ) = t r ( C B A ) = t r ( B A C ) {\displaystyle \mathrm {tr} (\mathbf {ABC} )=\mathrm {tr} (\mathbf {BCA} )=\mathrm {tr} (\mathbf {CAB} )=\mathrm {tr} (\mathbf {ACB} )=\mathrm {tr} (\mathbf {CBA} )=\mathrm {tr} (\mathbf {BAC} )}
跡數擁有相似不變性。如果矩陣A {\displaystyle \mathbf {A} } B {\displaystyle \mathbf {B} }
矩陣A {\displaystyle \mathbf {A} } B {\displaystyle \mathbf {B} } 可逆矩陣 P {\displaystyle \mathbf {P} } B = P A P − 1 {\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {P} \mathbf {A} \mathbf {P} ^{-1}} 因此t r ( B ) = t r ( P A P − 1 ) = t r ( P − 1 P A ) = t r ( A ) {\displaystyle \mathrm {tr} (\mathbf {B} )=\mathrm {tr} (\mathbf {P} \mathbf {A} \mathbf {P} ^{-1})=\mathrm {tr} (\mathbf {P} ^{-1}\mathbf {P} \mathbf {A} )=\mathrm {tr} (\mathbf {A} )}
一个n × n {\displaystyle n\times n} A {\displaystyle \mathbf {A} } P A ( λ ) {\displaystyle P_{A}(\lambda )} A {\displaystyle \mathbf {A} } λ {\displaystyle \lambda } 行列式 ：
P A ( λ ) = det ( A − λ I ) {\displaystyle P_{A}(\lambda )=\det(\mathbf {A} -\lambda \mathbf {I} )} 特征多项式是一个关于λ {\displaystyle \lambda } n 次多项式，它的常数项是A {\displaystyle \mathbf {A} } ( − 1 ) n λ n {\displaystyle (-1)^{n}\lambda ^{n}} n-1 次项就是( − 1 ) n − 1 t r ( A ) λ n − 1 {\displaystyle (-1)^{n-1}\mathrm {tr} (\mathbf {A} )\lambda ^{n-1}}
P A ( λ ) = ( − 1 ) n λ n + ( − 1 ) n − 1 t r ( A ) λ n − 1 + ⋯ + det ( A ) {\displaystyle P_{A}(\lambda )=(-1)^{n}\lambda ^{n}+(-1)^{n-1}\mathrm {tr} (\mathbf {A} )\lambda ^{n-1}+\cdots +\det(\mathbf {A} )}
当系数域是代数闭域 时（否则可以将系数域扩展到其代数闭包上来看），特征多项式P A ( λ ) {\displaystyle P_{A}(\lambda )} n 个根，它可以表达成：
P A ( λ ) = ( − 1 ) n ( λ − r 1 ) α 1 ( λ − r 2 ) α 2 ⋯ ( λ − r k ) α k {\displaystyle P_{A}(\lambda )=(-1)^{n}(\lambda -r_{1})^{\alpha _{1}}(\lambda -r_{2})^{\alpha _{2}}\cdots (\lambda -r_{k})^{\alpha _{k}}} 其中的r 1 , r 2 ⋯ r k {\displaystyle r_{1},r_{2}\cdots r_{k}} α 1 , α 2 ⋯ α k {\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2}\cdots \alpha _{k}} n 。一方面，特征多项式的根就是矩阵的特征值，而另一方面，借由根与多项式系数的关系可以知道：特征多项式的所有的根加起来等于矩阵的迹数。所以矩阵的迹数是矩阵的所有特征值（按照代数重数计算）的和。
t r ( A ) = α 1 r 1 + α 2 r 2 + ⋯ + α k r k {\displaystyle \mathrm {tr} (\mathbf {A} )=\alpha _{1}r_{1}+\alpha _{2}r_{2}+\cdots +\alpha _{k}r_{k}} 如果将矩阵写成它的若尔当标准型的话，也可以看出这一点，因为若尔当标准型的特征多项式的所有的根（包括重根）就是对角线上的所有元素。
如果不区分相同或不同的特征值的话，上述关系也可以写成：
t r ( A ) = λ 1 + λ 2 + ⋯ + λ n {\displaystyle \mathrm {tr} (\mathbf {A} )=\lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{n}} 其中的λ 1 , λ 2 ⋯ λ n {\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2}\cdots \lambda _{n}}
∀ m ∈ N , t r ( A m ) = λ 1 m + λ 2 m + ⋯ + λ n m {\displaystyle \forall m\in \mathbb {N} ,\mathrm {tr} (\mathbf {A} ^{m})=\lambda _{1}^{m}+\lambda _{2}^{m}+\cdots +\lambda _{n}^{m}}
設系数域为K {\displaystyle \mathbb {K} } V {\displaystyle \mathbb {V} } 維 的向量空間 ，維數是n 。給定任一線性映射f : V → V {\displaystyle f:\mathbb {V} \rightarrow \mathbb {V} } V {\displaystyle \mathbb {V} } f {\displaystyle f} f {\displaystyle f} f {\displaystyle f}
另外一种定义涉及到行列式的性质。考虑V {\displaystyle \mathbb {V} } B = ( e 1 , e 2 , ⋯ , e n ) {\displaystyle {\mathcal {B}}=(e_{1},e_{2},\cdots ,e_{n})}
S p : V n ⟶ K , {\displaystyle Sp:\;\;\;\quad \mathbb {V} ^{n}\qquad \;\quad \longrightarrow \quad \qquad \qquad \qquad \mathbb {K} \qquad \qquad \qquad ,} S p : ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) ⟼ ∑ i = 1 n det ( x 1 , x 2 , ⋯ , f ( x i ) , ⋯ , x n ) {\displaystyle Sp:(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})\longmapsto \sum _{i=1}^{n}\det(x_{1},x_{2},\cdots ,f(x_{i}),\cdots ,x_{n})} 根据行列式理论，这个函数也是一个行列式型的函数，也就是说存在一个只取决于f {\displaystyle f} S p ( f ) {\displaystyle \mathrm {Sp} (f)}
S p ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) = S p ( f ) ⋅ det ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) {\displaystyle Sp(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})=\mathrm {Sp} (f)\cdot \det(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})} 可以证明，这个纯量S p ( f ) {\displaystyle \mathrm {Sp} (f)} f {\displaystyle f}
由迹的定义可知迹可以看作是矩阵的实标量函数，所以我们可以通过求实标量函数的梯度来求迹的梯度 。
A 是m×m矩阵时，有∂ t r ( A ) ∂ A = I m {\displaystyle {\frac {\partial \mathrm {tr} (\mathbf {A} )}{\partial \mathbf {A} }}={\mathbf {I} }_{m}} m×m矩阵A 可逆时，有∂ t r ( A − 1 ) ∂ A = − ( A − 2 ) T {\displaystyle {\frac {\partial \mathrm {tr} (\mathbf {A} ^{-1})}{\partial \mathbf {A} }}=-(\mathbf {A} ^{-2})^{T}} 对于两个向量x 和y 的外积，有∂ t r ( x y T ) ∂ x = ∂ t r ( y x T ) ∂ x = y {\displaystyle {\frac {\partial \mathrm {tr} ({\boldsymbol {xy}}^{T})}{\partial {\boldsymbol {x}}}}={\frac {\partial \mathrm {tr} ({\boldsymbol {yx}}^{T})}{\partial {\boldsymbol {x}}}}={\boldsymbol {y}}}
若A 为m×n矩阵，有∂ t r ( A A T ) ∂ A = ∂ t r ( A T A ) ∂ A = 2 A {\displaystyle {\frac {\partial \mathrm {tr} (\mathbf {A} \mathbf {A} ^{T})}{\partial \mathbf {A} }}={\frac {\partial \mathrm {tr} (\mathbf {A} ^{T}\mathbf {A} )}{\partial \mathbf {A} }}=2\mathbf {A} } 若A 为m×m矩阵，有∂ t r ( A 2 ) ∂ A = ∂ t r ( A A ) ∂ A = 2 A T {\displaystyle {\frac {\partial \mathrm {tr} (\mathbf {A} ^{2})}{\partial \mathbf {A} }}={\frac {\partial \mathrm {tr} (\mathbf {A} \mathbf {A} )}{\partial \mathbf {A} }}=2\mathbf {A} ^{T}} 若A 为m×n矩阵，B 是m×n矩阵，有∂ t r ( A T B ) ∂ A = ∂ t r ( B A T ) ∂ A = B {\displaystyle {\frac {\partial \mathrm {tr} (\mathbf {A} ^{T}\mathbf {B} )}{\partial \mathbf {A} }}={\frac {\partial \mathrm {tr} (\mathbf {B} \mathbf {A} ^{T})}{\partial \mathbf {A} }}=\mathbf {B} } 若A 为m×n矩阵，B 是n×m矩阵，有∂ t r ( A B ) ∂ A = ∂ t r ( B A ) ∂ A = B T {\displaystyle {\frac {\partial \mathrm {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} )}{\partial \mathbf {A} }}={\frac {\partial \mathrm {tr} (\mathbf {B} \mathbf {A} )}{\partial \mathbf {A} }}=\mathbf {B} ^{T}} 当A 和B 均为对称矩阵时，有∂ t r ( A B ) ∂ A = ∂ t r ( B A ) ∂ A = B + B T − d i a g ( B ) {\displaystyle {\frac {\partial \mathrm {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} )}{\partial \mathbf {A} }}={\frac {\partial \mathrm {tr} (\mathbf {B} \mathbf {A} )}{\partial \mathbf {A} }}=\mathbf {B} +\mathbf {B} ^{T}-diag(\mathbf {B} )} 若A 和B 都是m×m矩阵，并且A 是非奇异矩阵，有∂ t r ( B A − 1 ) ∂ A = − ( A − 1 B T A − 1 ) T {\displaystyle {\frac {\partial \mathrm {tr} (\mathbf {B} \mathbf {A} ^{-1})}{\partial \mathbf {A} }}=-(\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {B} ^{T}\mathbf {A} ^{-1})^{T}}
张贤达，《矩阵分析与应用》，第54页 张贤达，《矩阵分析与应用》，第55页 Carl Dean Meyer, Matrix Analysis and Applied Linear Algebra ，第110页 Karim M. Abadir,Jan R. Magnus, Matrix algebra ，第168页 Werner, Linear Algebra ，第126页 Werner, Linear Algebra ，第127-128页
（中文） 张贤达. 矩阵分析与应用. 清华大学出版社. 2008. ISBN 9787302092711. （英文） Strang Gilbert. Linear algebra and its applications. Thomson, Brooks/Cole, Belmont, CA. 2006. ISBN 9780534422004. （中文） 居余马、林翠琴. 线性代数. 清华大学出版社. 2002. ISBN 978-7-302-06507-4. （英文） Werner Hildbert Greub. linear algebra ISBN 978-0-387-90110-7. （英文） Steven Roman. Advanced Linear Algebra ISBN 0-387-24766-1. （英文） Carl Dean Meyer. Matrix Analysis and Applied Linear Algebra Book and Solutions Manual ISBN 978-0898714548. （英文） Karim M. Abadir,Jan R. Magnus. Matrix algebra ISBN 978-0521537469. 维基百科, wiki, wikipedia, 百科全书, 书籍, 图书馆, 文章, 阅读, 免费下载, 关于 跡 的信息, 什么是 跡？跡 是什么意思？