光線轉換矩陣分析 (又稱ABCD矩陣分析 )，是用於某些光學系統，特別是雷射領域的一種光線追蹤技術。它包含一個描述光學系統的光線轉化矩陣(ray transfer matrix)，這個矩陣與一代表光線的向量 相乘之後，可以得到光線在該系統中的運行軌跡。這類的分析也被應用於加速器物理(accelerator physics)中，用以追蹤通過粒子加速器 中磁鐵裝置的粒子，詳情請見电子光学。
以下介紹的技術使用了近軸逼近法，此逼近法意即假設所有光線相對於系統的光軸(optical axis)都處於小角度(θ為徑度)、短距離(x)。
光線追蹤技術以兩個平面為參考面，分別為輸入平面與輸出平面，這兩個平面均垂直於系統的光軸。此外，為了理論的一般性，我們定義系統的光軸即直角坐標系的z軸。一光線與輸入面呈θ1 ，從距離光軸 x 1 的入射面進入系統，並在距光軸的x 2 的輸出面呈θ2 射出，而n 1 , n 2 分別是在輸入面與輸出面中介質的折射率。
這些參數可表成下列關係式:
[ x 2 θ 2 ] = [ A B C D ] [ x 1 θ 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{2}\\\theta _{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\\theta _{1}\end{bmatrix}}} 當
A = x 2 x 1 | θ 1 = 0 B = x 2 θ 1 | x 1 = 0 {\displaystyle A={x_{2} \over x_{1}}{\bigg |}_{\theta _{1}=0}\qquad B={x_{2} \over \theta _{1}}{\bigg |}_{x_{1}=0}} 且
C = θ 2 x 1 | θ 1 = 0 D = θ 2 θ 1 | x 1 = 0 {\displaystyle C={\theta _{2} \over x_{1}}{\bigg |}_{\theta _{1}=0}\qquad D={\theta _{2} \over \theta _{1}}{\bigg |}_{x_{1}=0}} 這個關係式以光線轉化矩陣(RTM, M)將光線向量與輸入、輸出面互相連結，M代表的是在這兩個平面之間的光學系統。根据折射定律与几何关系，可以證明RTM行列式值(determinant)即是兩個折射率的比值。
det ( M ) = A D − B C = n 1 n 2 {\displaystyle \det(\mathbf {M} )=AD-BC={n_{1} \over n_{2}}} 因此，若是輸入面與輸出面在同一個介質中，或是在具有同一個折射率的不同介質中，M等於1，相似的技術可以應用於電路學上，見二埠網路 。
若兩個面中有空間存在，光線轉換矩陣可以表示成:
S = [ 1 d 0 1 ] {\displaystyle \mathbf {S} ={\begin{bmatrix}1&d\\0&1\end{bmatrix}}} 其中d表示兩參考平面的距離(沿著光軸測量)，此矩陣有下列關係:
[ x 2 θ 2 ] = S [ x 1 θ 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{2}\\\theta _{2}\end{bmatrix}}=\mathbf {S} {\begin{bmatrix}x_{1}\\\theta _{1}\end{bmatrix}}} 兩光線各別的參數可表示如下:
x 2 = x 1 + d θ 1 θ 2 = θ 1 {\displaystyle {\begin{matrix}x_{2}&=&x_{1}+d\theta _{1}\\\theta _{2}&=&\theta _{1}\end{matrix}}} 另一個範例為一薄透鏡，其光線轉畫矩陣為:
L = [ 1 0 − 1 f 1 ] {\displaystyle \mathbf {L} ={\begin{bmatrix}1&0\\{\frac {-1}{f}}&1\end{bmatrix}}} 其中f為透鏡的焦距。若遇表示依複合光學系統，光線轉化矩陣可以交互相乘，形成一總括光線轉化矩陣，以下範例唯為一長度為d的空間與薄透鏡的複合系統:
L S = [ 1 0 − 1 f 1 ] [ 1 d 0 1 ] = [ 1 d − 1 f 1 − d f ] {\displaystyle \mathbf {L} \mathbf {S} ={\begin{bmatrix}1&0\\{\frac {-1}{f}}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&d\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&d\\{\frac {-1}{f}}&1-{\frac {d}{f}}\end{bmatrix}}} 注意，矩陣的乘法並沒有交換率，因此下面的系統先為一薄透鏡，後為一空間。
S L = [ 1 d 0 1 ] [ 1 0 − 1 f 1 ] = [ 1 − d f d − 1 f 1 ] {\displaystyle \mathbf {SL} ={\begin{bmatrix}1&d\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\{\frac {-1}{f}}&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1-{\frac {d}{f}}&d\\{\frac {-1}{f}}&1\end{bmatrix}}} 因此，矩陣必須照順序排好。不同的矩陣可以代表不同折射率 的介質，或者是面鏡的反射等等。
簡易的光學元素
成分元素 矩陣 註解 傳輸在具有常數折射率的空間 [ 1 d 0 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&d\\0&1\end{bmatrix}}} d 為傳輸距離折射在平坦的表面 [ 1 0 0 n 1 n 2 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&{\frac {n_{1}}{n_{2}}}\end{bmatrix}}} n 1 為入射時的環境折射率n 2 為折射後的環境折射率
折射在曲面 [ 1 0 n 1 − n 2 R ⋅ n 2 n 1 n 2 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\{\frac {n_{1}-n_{2}}{R\cdot n_{2}}}&{\frac {n_{1}}{n_{2}}}\end{bmatrix}}} R 為曲率半徑，當 R > 0 為凸面 n 1 為入射時的環境折射率n 2 為折射後的環境折射率
從平坦面鏡反射 [ 1 0 0 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}} 從曲面鏡反射 [ 1 0 − 2 R 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\-{\frac {2}{R}}&1\end{bmatrix}}} R 為曲率半徑，當 R > 0 為凹面，可用於近軸近似法 薄透鏡 [ 1 0 − 1 f 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\-{\frac {1}{f}}&1\end{bmatrix}}} f 為透鏡的焦距， 當 f > 0 為凸透鏡 唯有在焦距遠大於透鏡厚度時成立
厚透鏡 [ 1 0 n 2 − n 1 R 2 n 1 n 2 n 1 ] [ 1 t 0 1 ] [ 1 0 n 1 − n 2 R 1 n 2 n 1 n 2 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\{\frac {n_{2}-n_{1}}{R_{2}n_{1}}}&{\frac {n_{2}}{n_{1}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&t\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\{\frac {n_{1}-n_{2}}{R_{1}n_{2}}}&{\frac {n_{1}}{n_{2}}}\end{bmatrix}}} n 1 為透鏡外的折射率n 2 為透鏡內的折射率 R 1 為第一表面的曲率半徑 R 2 為第二表面的曲率半徑t 為透鏡的中心厚度
單直角稜鏡 [ k d n k 0 1 k ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}k&{\frac {d}{nk}}\\0&{\frac {1}{k}}\end{bmatrix}}} k = (cosψ {\displaystyle \psi } ϕ {\displaystyle \phi } ϕ {\displaystyle \phi } ψ {\displaystyle \psi } d 為稜鏡的路徑長, n 為稜鏡的折射率。 這個舉證應用在orthogonal beam exit。
RTM在模擬光學共振系統的時候特別有用，像是雷射。在最簡單的情況下由兩個完全相同，具100%反射率、曲率半徑R相互距離為d的面鏡組成。為了達到光學追蹤的目的，上述的系統可以等同於由一系列焦距為R/2，彼此間的距離為d的薄透鏡所組成的系統，此結構又被稱為a lens equivalent duct或lens equivalent waveguide. 上述系統每一個波導下的RTM如下:
M = L S = [ 1 d − 1 f 1 − d f ] {\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {L} \mathbf {S} ={\begin{bmatrix}1&d\\{\frac {-1}{f}}&1-{\frac {d}{f}}\end{bmatrix}}} 光學轉化矩陣分析此時就可以決定一個波導的穩定性(等同於共振器)，意即RTM可以找出光可以週期性地再聚焦，並待在波導內的狀況。我們可以找到系統中所有光的”eigenrays”，入射向量在每個mentioned sections的波導乘上一個實數或是複數的 λ 將會等於1。 使得：
M [ x 1 θ 1 ] = [ x 2 θ 2 ] = λ [ x 1 θ 1 ] {\displaystyle \mathbf {M} {\begin{bmatrix}x_{1}\\\theta _{1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x_{2}\\\theta _{2}\end{bmatrix}}=\lambda {\begin{bmatrix}x_{1}\\\theta _{1}\end{bmatrix}}} 此為一本徵方程式：
[ M − λ I ] [ x 1 θ 1 ] = 0 {\displaystyle \left[\mathbf {M} -\lambda \mathbf {I} \right]{\begin{bmatrix}x_{1}\\\theta _{1}\end{bmatrix}}=0} 其中I為一2x2單位矩陣。 我們可以進一步計算此轉化矩陣的本徵值：
det [ M − λ I ] = 0 {\displaystyle \operatorname {det} \left[\mathbf {M} -\lambda \mathbf {I} \right]=0} 可導出以下特徵方程式：
λ 2 − tr ( M ) λ + det ( M ) = 0 {\displaystyle \lambda ^{2}-\operatorname {tr} (\mathbf {M} )\lambda +\operatorname {det} (\mathbf {M} )=0} 其中
tr ( M ) = A + D = 2 − d f {\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {M} )=A+D=2-{d \over f}} 是RTM的軌跡 ，且
det ( M ) = A D − B C = 1 {\displaystyle \operatorname {det} (\mathbf {M} )=AD-BC=1} 是RTM行列式值的倒數，帶入消去後我們可以得到:
λ 2 − 2 g λ + 1 = 0 {\displaystyle \lambda ^{2}-2g\lambda +1=0} 其中
g = d e f tr ( M ) 2 = 1 − d 2 f {\displaystyle g\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\operatorname {tr} (\mathbf {M} ) \over 2}=1-{d \over 2f}} 是穩定參數。本徵值是本徵方程式的解，由一元二次方程式可以解出:
λ ± = g ± g 2 − 1 {\displaystyle \lambda _{\pm }=g\pm {\sqrt {g^{2}-1}}\,} 現在，考慮一個光線通過系統N次:
[ x N θ N ] = λ N [ x 1 θ 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{N}\\\theta _{N}\end{bmatrix}}=\lambda ^{N}{\begin{bmatrix}x_{1}\\\theta _{1}\end{bmatrix}}} 如果此波導是穩定的，所有的光都不會被隨意的引道到偏離主軸很遠的地方，意即λN必須是有限的。吾人假設g2>1，則兩本徵值均為實數，又因為λ*λ- = 1 ，因此其中一個的絕對值必須大於1，這也暗示了代表本徵向量的光線不會收斂。因此在依穩定的波導中，g2≤1，以及本徵值可以用複數形式表示:
λ ± = g ± i 1 − g 2 = cos ( ϕ ) ± i sin ( ϕ ) = e ± i ϕ {\displaystyle \lambda _{\pm }=g\pm i{\sqrt {1-g^{2}}}=\cos(\phi )\pm i\sin(\phi )=e^{\pm i\phi }} 以g=cos(φ)表示。
假設 g 2 < 1 {\displaystyle g^{2}<1} r + {\displaystyle r_{+}} r − {\displaystyle r_{-}} λ + {\displaystyle \lambda _{+}} λ − {\displaystyle \lambda _{-}}
c + r + + c − r − {\displaystyle c_{+}r_{+}+c_{-}r_{-}} c + {\displaystyle c_{+}} c − {\displaystyle c_{-}}
再通過N個波導後，輸出則為:
M N ( c + r + + c − r − ) = λ + N c + r + + λ − N c − r − = e i N ϕ c + r + + e − i N ϕ c − r − {\displaystyle \mathbf {M} ^{N}(c_{+}r_{+}+c_{-}r_{-})=\lambda _{+}^{N}c_{+}r_{+}+\lambda _{-}^{N}c_{-}r_{-}=e^{iN\phi }c_{+}r_{+}+e^{-iN\phi }c_{-}r_{-}} 這代表一個週期函數。
光線轉化矩陣的建立也可以用於描述高斯光束(Gaussian beams)，若有一高斯光束波長為λ0，曲率半徑為R，光點大小w，折射率n，我們可以定義出一複數光束參數(complex beam parameter) q:
1 q = 1 R − i λ 0 π n w 2 {\displaystyle {\frac {1}{q}}={\frac {1}{R}}-{\frac {i\lambda _{0}}{\pi nw^{2}}}} 此光束可以轉移至一具有下列光線轉化矩陣的光學系統:
[ q 2 1 ] = k [ A B C D ] [ q 1 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}q_{2}\\1\end{bmatrix}}=k{\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}q_{1}\\1\end{bmatrix}}} 其中k為標準化常數，此常數可以讓光束向量的第二個成分為1，利用矩陣乘法 :
q 2 = k ( A q 1 + B ) {\displaystyle q_{2}=k(Aq_{1}+B)\,} 且
1 = k ( C q 1 + D ) {\displaystyle 1=k(Cq_{1}+D)\ } 由上式除以下式可得:
q 2 = A q 1 + B C q 1 + D {\displaystyle q_{2}={\frac {Aq_{1}+B}{Cq_{1}+D}}} 此方程式常以倒數形式表示:
1 q 2 = C + D / q 1 A + B / q 1 {\displaystyle {1 \over q_{2}}={C+D/q_{1} \over A+B/q_{1}}}
假設一光束通過一距離為d的空間，光線轉化矩陣為: [ A B C D ] = [ 1 d 0 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&d\\0&1\end{bmatrix}}}
q 2 = A q 1 + B C q 1 + D = q 1 + d 1 = q 1 + d {\displaystyle q_{2}={\frac {Aq_{1}+B}{Cq_{1}+D}}={\frac {q_{1}+d}{1}}=q_{1}+d} 這表示，通過一空間會增加半徑d。
假設一光束通過一焦距為f的薄透鏡，光線轉化矩陣為:
[ A B C D ] = [ 1 0 − 1 / f 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\-1/f&1\end{bmatrix}}} 因此
q 2 = A q 1 + B C q 1 + D = q 1 − q 1 f + 1 {\displaystyle q_{2}={\frac {Aq_{1}+B}{Cq_{1}+D}}={\frac {q_{1}}{-{\frac {q_{1}}{f}}+1}}} 1 q 2 = − q 1 f + 1 q 1 = 1 q 1 − 1 f {\displaystyle {\frac {1}{q_{2}}}={\frac {-{\frac {q_{1}}{f}}+1}{q_{1}}}={\frac {1}{q_{1}}}-{\frac {1}{f}}} 再次強調，只有q的實部會被影響，曲率半徑會減少1/f。
Thick lenses (Matrix methods)（页面存档备份，存于互联网档案馆 ） ABCD Matrices Tutorial（页面存档备份，存于互联网档案馆 ） Provides an example for a system matrix of an entire system. ABCD Calculator（页面存档备份，存于互联网档案馆 ） An interactive calculator to help solve ABCD matrices. Simple Optical Designer (Android App)（页面存档备份，存于互联网档案馆 ） An application to explore optical systems using the ABCD matrix method.