子集

子集（英語：subset）亦称部分集合，为某集合中部分元素的集合；这时某集合则被称作这个子集的超集或母集。子集与超集的关系被称为“包含”。

如果集合${\displaystyle A}$的任意一个元素都是集合${\displaystyle B}$的元素（${\displaystyle \forall x\left({x\in A\rightarrow x\in B}\right)}$，亦可写作${\displaystyle \forall x\in A\left({x\in B}\right)}$），则集合${\displaystyle A}$称为集合${\displaystyle B}$的子集，记为${\displaystyle A\subseteq B}$或${\displaystyle B\supseteq A}$，读作“集合${\displaystyle A}$包含于集合${\displaystyle B}$”或“集合${\displaystyle B}$包含集合${\displaystyle A}$”。

即：${\displaystyle \forall x\in A}$，有${\displaystyle x\in B}$，则${\displaystyle A\subseteq B}$。

若${\displaystyle A}$和${\displaystyle B}$为集合，且${\displaystyle A}$的所有元素都是${\displaystyle B}$的元素，则可表示為：

• ${\displaystyle A}$是${\displaystyle B}$的子集（或称${\displaystyle A}$包含于 ${\displaystyle B}$）；${\displaystyle A\subseteq B}$
• ${\displaystyle B}$是${\displaystyle A}$的超集／母集（或称${\displaystyle B}$包含 ${\displaystyle A}$）；${\displaystyle B\supseteq A}$

任何集合${\displaystyle B}$皆是自身的子集（${\displaystyle B\subseteq B}$）。而${\displaystyle B}$的子集中不等于${\displaystyle B}$的集合，称为真子集，若${\displaystyle A}$是${\displaystyle B}$的真子集，写作${\displaystyle A\subsetneqq B}$。

定义

假设有${\displaystyle A}$和${\displaystyle B}$两个集合，如果${\displaystyle A}$中的每个元素都在${\displaystyle B}$中，则：

• ${\displaystyle A}$是${\displaystyle B}$的子集，记作${\displaystyle A\subseteq B}$

也可以说

• ${\displaystyle B}$是${\displaystyle A}$的超集，记作${\displaystyle B\supseteq A}$

如果${\displaystyle A}$是${\displaystyle B}$的子集，但${\displaystyle A}$不等于${\displaystyle B}$（即${\displaystyle B}$中至少存在一个元素不在${\displaystyle A}$中），则：

• ${\displaystyle A}$是${\displaystyle B}$的真子集，记作${\displaystyle A\subsetneqq B}$

也可以说

• ${\displaystyle B}$是${\displaystyle A}$的真超集，记作${\displaystyle B\supsetneqq A}$

符号

ISO 80000-2标准中定义了两种符号搭配：

• 如果用${\displaystyle \subseteq }$表示子集关系（包含关系），那么用${\displaystyle \subset }$表示真子集关系（真包含关系）。
• 如果用${\displaystyle \subset }$表示子集关系（包含关系），那么用${\displaystyle \subsetneqq }$表示真子集关系（真包含关系）。^:p.6

举例

• 集合${\displaystyle \left\{1,2\right\}}$是集合${\displaystyle \left\{1,2,3\right\}}$的真子集。
• 自然数集合是有理数集合的真子集。
• 集合${\displaystyle \{x:x}$是大于2000的素数${\displaystyle \}}$是集合${\displaystyle \{x:x}$是大于1000的奇数${\displaystyle \}}$的真子集。
• 任意集合是其自身的子集，但不是真子集。
• 空集，写作${\displaystyle \varnothing }$，是任意集合${\displaystyle X}$的子集。空集总是其他集合的真子集，除了其自身。

性质

命题1：空集是任意集合的子集。

这个命题说明：包含是一种偏序关系。

命题2：若${\displaystyle A,B,C}$是集合，则：

自反性：

• ${\displaystyle A\subseteq A}$

反对称性：

• 若${\displaystyle A\subseteq B}$且${\displaystyle B\subseteq A}$，则${\displaystyle A=B}$

传递性：

• 若${\displaystyle A\subseteq B}$且${\displaystyle B\subseteq C}$，则${\displaystyle A\subseteq C}$

这个命题说明：对任意集合${\displaystyle S}$，${\displaystyle S}$的幂集按包含排序是一个有界格，与上述命题相结合，则它是一个布尔代数。

命题3：若${\displaystyle A,B,C}$是集合${\displaystyle S}$的子集，则：

存在一个最小元和一个最大元：

• ${\displaystyle \varnothing \subseteq A\subseteq S}$（${\displaystyle \varnothing \subseteq A}$由命題1給出）

存在并运算：

• ${\displaystyle A\subseteq A\cup B}$
• 若${\displaystyle A\subseteq C}$且${\displaystyle B\subseteq C}$，则${\displaystyle A\cup B\subseteq C}$

存在交运算：

• ${\displaystyle A\cap B\subseteq A}$
• 若${\displaystyle C\subseteq A}$且${\displaystyle C\subseteq B}$，则${\displaystyle C\subseteq A\cap B}$

命题4：对任意两个集合${\displaystyle A}$和${\displaystyle B}$，下列表述等价：

• ${\displaystyle A\subseteq B}$
• ${\displaystyle A\cap B=A}$
• ${\displaystyle A\cup B=B}$
• ${\displaystyle A-B=\varnothing }$
• ${\displaystyle B'\subseteq A'}$

这个命题说明：表述"${\displaystyle A\subseteq B}$"，和其他使用并集，交集和补集的表述是等价的，即包含关系在公理体系中是多余的。

参见

• 冪集：某集合的全部子集组成的集合。