初等函数 （基本函數）是由常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等经过有限次的有理运算 （加、减、乘、除、乘方、开方）及有限次函数复合所产生、并且在定义域 上能用一个方程式表示的函数 。
一般来说，分段函数不是初等函数，因为在这些分段函数的定义域上不能用一个解析式表示。
初等函数的全体对算术运算、复合和微分 （求导）是封闭的，但对求极限、无穷级数 以及积分 不封闭 。只有刘维尔函数（初等函数及其积分）的全体对积分才是封闭的。
此外，部分初等函数不是整函数，或者在复数域上是多值函数。
之所以称这些函数为“初等函数”或“基本函数”（法语 ：fonction élémentaire ），需要从微分代数的角度考虑。尽管“初等函数”这个概念最初是由约瑟夫·刘维尔引入的，但目前的通行定义是由约瑟夫·里特给出的：
一个微分域 F {\displaystyle F} F 0 {\displaystyle F_{0}} u → f ( u ) {\displaystyle u\rightarrow f(u)} f ( u ) {\displaystyle f(u)}
f ( u + v ) = f ( u ) + f ( v ) {\displaystyle f(u+v)=f(u)+f(v)} f ( u v ) = u f ( v ) + v f ( u ) {\displaystyle f(uv)=uf(v)+vf(u)} C {\displaystyle C} f ( C ) = 0 {\displaystyle f(C)=0}
在以上定义满足时，一个函数u {\displaystyle u} F {\displaystyle F} 初等函数 ，当且仅当该函数至少满足以下三者之一：
是F {\displaystyle F} 是F {\displaystyle F} f ( u ) = u f ( a ) , a ∈ F {\displaystyle f(u)=uf(a),a\in F} 是F {\displaystyle F} f ( u ) = f ( a ) a , a ∈ F {\displaystyle f(u)={\frac {f(a)}{a}},a\in F}
称f ( x ) = C {\displaystyle f(x)=C} C 为常数 ，它的定义域为( − ∞ , ∞ ) {\displaystyle (-\infty ,\infty )}
称形如f ( x ) = C x r {\displaystyle f(x)=Cx^{r}} C , r 为常数。幂函数的定义域与r 的值有关，但是不管r 取何值，该函数在( 0 , + ∞ ) {\displaystyle (0,+\infty )}
称形如f ( x ) = a x {\displaystyle f(x)=a^{x}} a 是常数，a > 0 {\displaystyle a>0} a ≠ 1 {\displaystyle a\neq 1} ( − ∞ , + ∞ ) {\displaystyle (-\infty ,+\infty )} 值域 为( 0 , + ∞ ) {\displaystyle (0,+\infty )}
称形如y = log a x {\displaystyle y=\log _{a}x\!} a > 0 {\displaystyle a>0} a ≠ 1 {\displaystyle a\neq 1} y = a x {\displaystyle y=a^{x}} 反函数 。该函数定义域为( 0 , + ∞ ) {\displaystyle (0,+\infty )} ( − ∞ , + ∞ ) {\displaystyle (-\infty ,+\infty )}
称形如f ( x ) = sin x {\displaystyle f(x)=\sin x} ( − ∞ , + ∞ ) {\displaystyle (-\infty ,+\infty )} [ − 1 , 1 ] {\displaystyle [-1,1]} 2 π {\displaystyle 2\pi }
称形如f ( x ) = cos x {\displaystyle f(x)=\cos x} ( − ∞ , + ∞ ) {\displaystyle (-\infty ,+\infty )} [ − 1 , 1 ] {\displaystyle [-1,1]} 2 π {\displaystyle 2\pi }
称形如f ( x ) = tan x {\displaystyle f(x)=\tan x} { x | x ≠ k π + π 2 , k ∈ Z } {\displaystyle \{x|x\neq k\pi +{\frac {\pi }{2}},\,k\in \mathbb {Z} \}} ( − ∞ , + ∞ ) {\displaystyle (-\infty ,+\infty )} π {\displaystyle \pi }
称形如f ( x ) = cot x {\displaystyle f(x)=\cot x} { x | x ≠ k π , k ∈ Z } {\displaystyle \{x|x\neq k\pi ,\,k\in \mathbb {Z} \}} ( − ∞ , + ∞ ) {\displaystyle (-\infty ,+\infty )} π {\displaystyle \pi }
称形如f ( x ) = sec x {\displaystyle f(x)=\sec x} { x | x ≠ k π + π 2 , k ∈ Z } {\displaystyle \{x|x\neq k\pi +{\frac {\pi }{2}},\,k\in \mathbb {Z} \}} ( − ∞ , − 1 ] ∪ [ 1 , + ∞ ) {\displaystyle (-\infty ,-1]\cup [1,+\infty )} 2 π {\displaystyle 2\pi }
称形如f ( x ) = csc x {\displaystyle f(x)=\csc x} { x | x ≠ k π , k ∈ Z } {\displaystyle \{x|x\neq k\pi ,\,k\in \mathbb {Z} \}} ( − ∞ , − 1 ] ∪ [ 1 , + ∞ ) {\displaystyle (-\infty ,-1]\cup [1,+\infty )} 2 π {\displaystyle 2\pi }
双曲正弦函数：y = sinh x = e x − e − x 2 {\displaystyle y=\sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}} y = cosh x = e x + e − x 2 {\displaystyle y=\cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}} y = tanh x = sinh x cosh x = e x − e − x e x + e − x {\displaystyle y=\tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}}
反双曲正弦函数：y = arsinh x = ln ( x + x 2 + 1 ) {\displaystyle y=\operatorname {arsinh} \,x=\ln(x+{\sqrt {x^{2}+1}})} y = arcosh x = ln ( x + x 2 − 1 ) {\displaystyle y=\operatorname {arcosh} \,x=\ln(x+{\sqrt {x^{2}-1}})}
Davenport, J. H.: What Might "Understand a Function" Mean. In: Kauers, M.; Kerber, M., Miner, R.; Windsteiger, W.: Towards Mechanized Mathematical Assistants. Springer, Berlin/Heidelberg 2007, p. 55-65. [1]（页面存档备份，存于互联网档案馆 ）