在熱力學 裡，內能 （internal energy）是熱力學系統內兩個具狀態變數之基本狀態函數的其中一個函數。內能是指系統所含有的能量，但不包含因外部力場而產生的系統整體之動能 與位能 。內能會因系統能量的增損而隨之改變。
內能 常見符號
U 国际单位 J 基本單位 m2 *kg/s2 從其他物理量的推衍
U = ∑ i E i {\displaystyle U=\sum _{i}E_{i}\!} 因次 L 2 M T − 2 {\displaystyle {\mathsf {L}}^{2}{\mathsf {M}}{\mathsf {T}}^{-2}}
系統的內能可能因（1）對系統加熱、（2）對系統作功，或（3）添加或移除物質而改變。當系統內有不可穿透的牆阻止物質傳遞時，該系統稱之為「封閉系統」。如此一來，熱力學第一定律 描述，內能的增加會等於增加的熱量加上環境對該系統所作的功。若該系統周圍的牆不能傳遞物質與能量，則該系統稱之為「孤立系統」，且其內能會維持定值。
一系統內給定狀態下的內能不能被直接量測。給定狀態下的內能可由一已給定其內能參考值之參考狀態開始，經過一連串熱力學操作 熵 S、容量 V 及莫耳數 {Nj U (S ,V ,{Nj })
內能是一系統內的狀態函數，因為其值僅取決於該系統的目前狀態，而與達到此一狀態所採之途徑或過程無關。內能是個外延物理量。內能是個基本熱動力位能。使用勒壤得轉換，可從內能開始，在數學上建構出其他的熱動力位能。這些函數的狀態變數，部分外延變數會被其共軛內含變數所取代。因為僅是將外延變數由內含變數所取代並無法得出其他熱動力位能，所以勒壤得轉換是必要的。熱力學系統的另一個基本狀態函數為該系統的熵 S (U ,V ,{Nj })
雖然內能是個宏觀物理量，內能也可在微觀層面上由兩個假設的量來解釋。一個是系統內粒子的微觀運動（平移、旋轉、振動）所產生的微觀動能。另一個是與粒子間的化學鍵 及組成物質的靜止質量能量等微觀力有關之位能。在微觀的量與系統因作功、加熱或物質轉移而產生之能量增損的量之間，並不存在一個簡單的普遍關係。
能量 的國際單位 為焦耳 （J）。有時使用單位質量（公斤）的內能（稱之為「比內能」）會比較方便。比內能的國際單位為 J/kg。若比內能以物質數量（莫耳）的單位來表示，則稱之為「莫耳內能」，且該單位為 J/mol。
從統計力學 的觀點來看，內能等於系統總能量的系綜平均值
一系統內給定狀態的內能 U 可由該系統的標準狀態開始，透過能量的宏觀轉移，使得該系統的狀態由參考狀態轉變成給定狀態而決定：
Δ U = ∑ i E i {\displaystyle \Delta U=\sum _{i}E_{i}\,} 其中，Δ U {\displaystyle \Delta U} E i {\displaystyle E_{i}}
從非相對論微觀角度來看，內能可被分為微觀位能 U m i c r o , p o t {\displaystyle U_{micro,pot}} U m i c r o , k i n {\displaystyle U_{micro,kin}}
U = U m i c r o , p o t + U m i c r o , k i n {\displaystyle U=U_{\mathrm {micro,pot} }+U_{\mathrm {micro,kin} }} 一系統的微觀動能是該系統內所有粒子之運動的總和，包含原子、分子、原子核、電子等粒子的運動。微觀位能則是指化學能 與核位能 ，以及該系統內因為內含的電偶極矩與磁偶極矩所產生的物理力場，以及固體的形變（應力 -應變）所具有之能量的總和。一般而言，宏觀熱力學不會討論到微觀的動能與位能。
內能不包含因系統整體的運動或位置所產生之能量，亦即排除任何因為系統於一外部重力場、靜電場 或電磁場之運動或位置，而產生之動能與位能。不過，系統內之物體的內含自由度與這些場耦合所產生之能量，也算是內能的一部分。在此一情形下，系統的熱力學狀態需要使用額外的外部參數來描述之。
就熱力學及工程學上的實際用途來看，一般很少需要，或甚至不可能考慮一個系統的所有內含能量，如質量所含有的等價能量。一般而言，只有與研究的系統及程序有關的部分才會被包含進來。實際上，在大多數考量的系統內，尤其是在熱力學裡，計算出所有內能是不可能的。因此，通常會為內能選定一參考零值。
內能是個外延物理量，即內能與系統之大小，或系統所含物質多寡有關。
在溫度大於絕對零度時，微觀位能與動能間會不斷地互相轉換，但在一孤立系統 內，其和會維持一個定值。在古典熱力學的觀點下，動能在絕對零度時會消失，而內能會只剩下位能。不過，量子力學表示，即使在絕對零度下，粒子仍然會有剩餘的動能，即零點能量。在絕對零度的系統只會處在量子力量的基態，最低可達能量狀態之下。在絕對零度時，一系統會達成其最低可達到的熵 。
內能的微觀動能部分取決於該系統的溫度。統計力學 將個別粒子半隨機的動能與構成整個系統的粒子之平均動能所關連。甚至，統計力學將微觀的平均動能與宏觀可見的系統之溫度相關連。此一能量通常被指為系統的「熱能」 ，並將此能量（如溫度）與人們對冷熱的體驗相關連。
統計力學將每個系統視為是在 N 個微觀狀態 E i ，並有著機率 p i 。內能即為該系統總能量的平均值，亦即為所有微觀狀態之能量，在其出現機率之加權下的總和：
U = ∑ i = 1 N p i E i . {\displaystyle U=\sum _{i=1}^{N}p_{i}\,E_{i}\ .} 這是熱力學第一定律 在統計下描述。
熱力學系統允許的傳遞 系統類型 物質 功 熱 開放系統 Y Y Y 封閉系統 N Y Y 绝热系統 N Y N 力學孤立系統 N N Y 孤立系統 N N N
熱力學一般只在意內能的變化量 ΔU。
在沒有物質傳遞的封閉系統內，內能只會因傳熱 Q 及作功而變化。後者又可分成兩個類型，與容量有關的功 W pressure-volume W isochoric
Δ U = Q + W p r e s s u r e − v o l u m e + W i s o c h o r i c {\displaystyle \Delta U=Q+W_{\mathrm {pressure-volume} }+W_{\mathrm {isochoric} }} 當一封閉系統得到熱之類的能量時，該能量會增加內能。該能量會分配給微觀動能與微觀位能。一般而言，熱力學不會去理會此類分配。在一理想氣體裡，所有的外加能量都會導致溫度上升，因為該能量只會被分配給微觀動能；此類加熱被稱為「顯熱」。
封閉系統裡內能變化的第二個機制為對該系統作功，不論是透過改變壓力或容量所作的機械功，或是透過向系統通電等方式所作的功。
若系統不是封閉的，則改變內能的第三個機制還包括系統內物質的傳遞。其變化量 ΔU matter
Δ U = Q + W p r e s s u r e − v o l u m e + W i s o c h o r i c + Δ U m a t t e r {\displaystyle \Delta U=Q+W_{\mathrm {pressure-volume} }+W_{\mathrm {isochoric} }+\Delta U_{\mathrm {matter} }} 若一系統在加熱中發生了某種相變（如熔化或汽化），可觀察到該系統的溫度在完成所有轉變之前都不會改變。加入系統內，卻不會改變系統溫度的能量，稱之為潛能（或潛熱），與會跟溫度變化相關連的顯熱相對。
熱力學通常會使用理想氣體的概念作為教學目的，並作為工作系統的近似。理想氣體是由可被視為點的粒子所組成之氣體，這些粒子只會因彈性碰撞而互動，且其自由平均路徑遠大於其半徑。此類系統可使用單原子氣體 （如氦氣或其他惰性氣體 ）來近似。這裡的動能僅包含個別粒子的平移動能。單原子粒子不會旋轉或振動，也不會被激發到更高的能階，除非在非常高的溫度 時。
因此，理想氣體的內能變化可是只透過其動能的變化來描述。在理想氣體裡，動能完全由該系統的壓力 、容量 與熱力學溫度來決定。
理想氣體的內能會正比於其質量（莫耳數）N 與溫度 T
U = c N T , {\displaystyle U=cNT,} 其中，c 為該氣體（在固定容量下）的熱容量。內部可寫成三個外延物理量（熵 S、容量 V 與質量 N）的函數，如下：
U ( S , V , N ) = c o n s t ⋅ e S c N V − R c N R + c c , {\displaystyle U(S,V,N)=const\cdot e^{\frac {S}{cN}}V^{\frac {-R}{c}}N^{\frac {R+c}{c}},} 其中，const 為一任意正數，而 R 則為氣體常數。簡單可知，U 會是三個變數的線性齊次函數（亦即為這些變數的「外延」函數），且為弱凸函數。知道溫度與壓力為導數 T = ∂ U ∂ S , {\displaystyle T={\frac {\partial U}{\partial S}},} p = − ∂ U ∂ V , {\displaystyle p=-{\frac {\partial U}{\partial V}},} p V = R N T {\displaystyle pV=RNT}
上面內能之變化量均假定附加給系統的熱量及對系統作的功為正值，而系統對環境作的功則為負值。
一般，內能的關係式會以無窮小量的方式來表示，其中只有內能一項為全微分。對一個只進行熱力學過程的系統（即一只交換熱與功的封閉系統），內能的變化量為
d U = δ Q + δ W {\displaystyle dU=\delta Q+\delta W\,} 這即是熱力學第一定律 。該關係式亦可使用其他熱力學參數來表示。每一項均由一內含變數（廣義力）及與其共軛之無窮小外延變數（廣義位移）所組成。
例如，對一非黏性流體，在該系統上所作的機械功，會與壓力 p 及容量 V 相關。壓力是個內含的廣義力，而容量則是個外延的廣義位移：
δ W = − p d V {\displaystyle \delta W=-p\mathrm {d} V\,} 這裡，功 W 的方向定義為從作用系統流向周圍環境的能量，熱量 Q 的傳遞方向則定義為流入作用流體之能量，並假定為一可逆過程：
δ Q = T d S {\displaystyle \delta Q=T\mathrm {d} S\,} 其中，T 是溫度 ，S 是熵 ，而內能的變化量則變成
d U = T d S − p d V {\displaystyle \mathrm {d} U=T\mathrm {d} S-p\mathrm {d} V\!}
內能隨溫度與容量而變的變化量之公式為
d U = C V d T + [ T ( ∂ p ∂ T ) V − p ] d V (1) . {\displaystyle dU=C_{V}dT+\left[T\left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)_{V}-p\right]dV\,\,{\text{ (1)}}.\,} 在已知狀態方程式之下，可使用該公式求出內能。
在理想氣體的情形下，可推導出 d U = C v d T {\displaystyle dU=C_{v}dT}
其中C v {\displaystyle C_{v}} C v = R γ − 1 {\displaystyle C_{v}={R \over \gamma -1}} R 是理想气体常数，γ {\displaystyle \gamma } γ = 5 / 3 {\displaystyle \gamma =5/3} γ = 7 / 5 {\displaystyle \gamma =7/5}
气体 绝热指数 H 2 {\displaystyle H_{2}} 1.410 O 2 {\displaystyle O_{2}} 1.397 N 2 {\displaystyle N_{2}} 1.402 空气 1.400 S O 2 {\displaystyle SO_{2}} 1.272
證明理想氣體的公式與壓力無關
內能隨溫度與容量而變的變化量之公式為
d U = C V d T + [ T ( ∂ p ∂ T ) V − p ] d V . {\displaystyle dU=C_{V}dT+\left[T\left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)_{V}-p\right]dV.\,} 而狀態方程式為理想氣體定律
p V = n R T . {\displaystyle pV=nRT.\,} 求壓力解為：
p = n R T V . {\displaystyle p={\frac {nRT}{V}}.} 代入內能的公式裡：
d U = C V d T + [ T ( ∂ p ∂ T ) V − n R T V ] d V . {\displaystyle dU=C_{V}dT+\left[T\left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)_{V}-{\frac {nRT}{V}}\right]dV.\,} 取壓力相對於溫度的導數：
( ∂ p ∂ T ) V = n R V . {\displaystyle \left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)_{V}={\frac {nR}{V}}.} 代入：
d U = C V d T + [ n R T V − n R T V ] d V . {\displaystyle dU=C_{V}dT+\left[{\frac {nRT}{V}}-{\frac {nRT}{V}}\right]dV.} 並簡化：
d U = C V d T . {\displaystyle dU=C_{V}dT.\,} 使用 dT 與 dV 表示 dU 的公式推導
為了使用 dT 與 dV 表示 dU，將
d S = ( ∂ S ∂ T ) V d T + ( ∂ S ∂ V ) T d V {\displaystyle dS=\left({\frac {\partial S}{\partial T}}\right)_{V}dT+\left({\frac {\partial S}{\partial V}}\right)_{T}dV\,} 代入熱力學基本關係
d U = T d S − p d V . {\displaystyle dU=TdS-pdV.\,} 會給出：
d U = T ( ∂ S ∂ T ) V d T + [ T ( ∂ S ∂ V ) T − p ] d V . {\displaystyle dU=T\left({\frac {\partial S}{\partial T}}\right)_{V}dT+\left[T\left({\frac {\partial S}{\partial V}}\right)_{T}-p\right]dV.\,} T ( ∂ S ∂ T ) V {\displaystyle T\left({\frac {\partial S}{\partial T}}\right)_{V}} C V . {\displaystyle C_{V}.}
若狀態方程式可知，則可算出 S 相對於 V 的偏導數。由熱力學基本關係可知，亥姆霍茲自由能 A 的微分如下：
d A = − S d T − p d V . {\displaystyle dA=-SdT-pdV.\,} A 相對於 T 與 V 之二階導數的對稱性，可給出麥克斯韋關係式：
( ∂ S ∂ V ) T = ( ∂ p ∂ T ) V . {\displaystyle \left({\frac {\partial S}{\partial V}}\right)_{T}=\left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)_{V}.\,} 如此，即可導出上面的公式。
當處理液體或固體時，隨溫度與壓力而變的變化量之公式通常會比較有用：
d U = ( C p − α p V ) d T + ( β T p − α T ) V d p {\displaystyle dU=\left(C_{p}-\alpha pV\right)dT+\left(\beta _{T}p-\alpha T\right)Vdp\,} 其中，假定固定壓力下的熱容量與固定容量下的熱容量之間有下列關係：
C p = C V + V T α 2 β T {\displaystyle C_{p}=C_{V}+VT{\frac {\alpha ^{2}}{\beta _{T}}}\,} 使用 dT 與 dP 表示 dU 的公式推導
壓力在固定相對於溫度的偏導數可以熱膨脹係數
α ≡ 1 V ( ∂ V ∂ T ) p {\displaystyle \alpha \equiv {\frac {1}{V}}\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{p}\,} 與等溫壓縮性
β T ≡ − 1 V ( ∂ V ∂ p ) T {\displaystyle \beta _{T}\equiv -{\frac {1}{V}}\left({\frac {\partial V}{\partial p}}\right)_{T}\,} 表示之，寫成：
d V = ( ∂ V ∂ p ) T d p + ( ∂ V ∂ T ) p d T = V ( α d T − β T d p ) (2) {\displaystyle dV=\left({\frac {\partial V}{\partial p}}\right)_{T}dp+\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{p}dT=V\left(\alpha dT-\beta _{T}dp\right)\,\,{\text{ (2)}}\,} 在固定容量的情形下，令 dV 為 0，並求 dp/dT 的解，可得：
( ∂ p ∂ T ) V = − ( ∂ V ∂ T ) p ( ∂ V ∂ p ) T = α β T (3) {\displaystyle \left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)_{V}=-{\frac {\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{p}}{\left({\frac {\partial V}{\partial p}}\right)_{T}}}={\frac {\alpha }{\beta _{T}}}\,\,{\text{ (3)}}\,} 將 (2) 與 (3) 代入 (1) 內，即可得出上面公式。
內壓
π T = ( ∂ U ∂ V ) T {\displaystyle \pi _{T}=\left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}}
除了以熵 S 與容量 V 表示內能之外，一個系統通常也會使用內含的粒子與化合物之數量來表示之：
U = U ( S , V , N 1 , … , N n ) {\displaystyle U=U(S,V,N_{1},\ldots ,N_{n})\,} 其中 N j 為該系統內類型 j 的成分之莫耳數。內能是外延變數 S、V 與數量 N j 的外延函數，可寫成一階線性齊次函數：
U ( α S , α V , α N 1 , α N 2 , … ) = α U ( S , V , N 1 , N 2 , … ) {\displaystyle U(\alpha S,\alpha V,\alpha N_{1},\alpha N_{2},\ldots )=\alpha U(S,V,N_{1},N_{2},\ldots )\,} 其中，α 為描述該系統成長之因子。內能的微分可寫成
d U = ∂ U ∂ S d S + ∂ U ∂ V d V + ∑ i ∂ U ∂ N i d N i = T d S − p d V + ∑ i μ i d N i {\displaystyle \mathrm {d} U={\frac {\partial U}{\partial S}}\mathrm {d} S+{\frac {\partial U}{\partial V}}\mathrm {d} V+\sum _{i}\ {\frac {\partial U}{\partial N_{i}}}\mathrm {d} N_{i}\ =T\,\mathrm {d} S-p\,\mathrm {d} V+\sum _{i}\mu _{i}\mathrm {d} N_{i}\,} 其中，溫度 T 被定義為 U 相對於熵 S 的偏導數，壓力 p 被定義為 U 相對於容量 V 的偏導數之負值
T = ∂ U ∂ S , {\displaystyle T={\frac {\partial U}{\partial S}},} p = − ∂ U ∂ V , {\displaystyle p=-{\frac {\partial U}{\partial V}},} 而係數 μ i {\displaystyle \mu _{i}}
μ i = ( ∂ U ∂ N i ) S , V , N j ≠ i {\displaystyle \mu _{i}=\left({\frac {\partial U}{\partial N_{i}}}\right)_{S,V,N_{j\neq i}}} 作為成分數量 { N j } {\displaystyle \lbrace N_{j}\rbrace }
U = T S − p V + ∑ i μ i N i {\displaystyle U=TS-pV+\sum _{i}\mu _{i}N_{i}\,} 該系統內成分部分的總和即為吉布斯能：
G = ∑ i μ i N i {\displaystyle G=\sum _{i}\mu _{i}N_{i}\,} 吉布斯能表示在固定溫度與壓力下，系統成分數量的改變所產生之能量變化。對一個單成分的系統，化學勢會等於每單位物質量的吉布斯能。
在一彈性介質裡，內能裡的機械能項必須以應力 σ i j {\displaystyle \sigma _{ij}} ε i j {\displaystyle \varepsilon _{ij}}
d U = T d S + V σ i j d ε i j {\displaystyle \mathrm {d} U=T\mathrm {d} S+V\sigma _{ij}\mathrm {d} \varepsilon _{ij}} 其中，張量使用到愛因斯坦求和約定，亦即對每個重復指數相乘後加總。依據歐拉定理，可給出內能的公式為：
U = T S + 1 2 σ i j ε i j {\displaystyle U=TS+{\frac {1}{2}}\sigma _{ij}\varepsilon _{ij}} 對一線性彈性材料，應力與應變之間的關係如下：
σ i j = C i j k l ε k l {\displaystyle \sigma _{ij}=C_{ijkl}\varepsilon _{kl}} 其中，C ijkl 為介質的彈性常數張量。
路徑積分蒙地卡羅方法 量子力學 原理。
詹姆斯·焦耳研究過熱、作功與溫度間的關係。他觀察到，若透過攪拌液體等方式對液體作機械功，該液體的溫度會上升。焦耳假設，他對該系統所作的機械功會轉換成「熱能 」。具體來說，他還發現了需要4185.5焦耳的能量來提升1公斤的水1度C的溫度，輸入功和熱能的比例即為热功当量，1850年時，焦耳发表了一个修正的测量值，772.692 ft·lbf/Btu（4.159J/cal），这个值很接近20世纪初期采用的值，4.1860J/cal。。
在本條目裡，機械功的正負值與在化學裡所定義的一樣，但不同於在物理裡所使用的習慣。在化學裡，環境對系統所作的功（如系統收縮）為負值，而在物理裡則為正值。
熱量測定 焓 㶲 亥姆霍茲自由能 熱力學方程 熱動力位能 温度 热量