定理

定理（英語：Theorem）是經過受邏輯限制的證明為真的陈述。一般來說，在數學中，只有重要或有趣的陳述才叫定理。證明定理是數學的中心活動。一个定理陈述一个给定类的所有（全称）元素一种不变的关系，这些元素可以是无穷多，它们在任何时刻都无区别地成立，而没有一个例外。（例如：某些${\displaystyle a}$是${\displaystyle x}$，某些${\displaystyle a}$是${\displaystyle y}$，就不能算是定理）。

猜想是相信為真但未被證明的數學敘述，或者叫做命题，當它經過證明後便是定理。猜想是定理的來源，但並非唯一來源。一個從其他定理引伸出來的數學敘述可以不經過成為猜想的過程，成為定理。

如上所述，定理需要某些邏輯框架，繼而形成一套公理（公理系統）。同時，一個推理的過程，容許從公理中引出新定理和其他之前發現的定理。

在命題邏輯，所有已證明的敘述都稱為定理。

各種數學敘述（按重要性來排列）

1. 數學原理
2. 公理（也稱公設）－公理是沒有經過證明，但被當作不證自明的一個命題。
3. 定理
4. 命題－通常，命題是一個可以判斷真或假的陳述句，亦有既真又假的命題（悖論）。
5. 推論（也稱系、系理）－一個從定理隨之而即時出現的敘述。若命題B可以很快、簡單地推導出命題A，命題A為命題B的推論。
6. 引理（也稱輔助定理，補理）－某個定理的證明的一部分的敘述。它並非主要的結果。引理的證明有時還比定理長，例如舒尔引理。
7. 假說－根據已知的科學事實和科學原理，對所研究的自然現象及其規律性提出的推測和說明。

結構

定理一般都有许多條件。然後有結論——一個在條件下成立的數學敘述。通常寫作「若條件，則結論」。用符號邏輯來寫就是條件→結論。而當中的證明不視為定理的成分。

逆定理

若存在某敘述為${\displaystyle A\rightarrow B}$，其逆敘述就是${\displaystyle B\rightarrow A}$。逆敘述成立的情況是${\displaystyle A\leftrightarrow B}$，否則通常都是倒果為因，不合常理。若果敘述是定理，其成立的逆敘述就是逆定理。

• 若某敘述和其逆敘述都為真，條件必要且充足。
• 若某敘述為真，其逆敘述為假，條件充足。
• 若某敘述為假，其逆敘述為真，條件必要。

逻辑中的定理

逻辑语言中的定理表示的是一个公式集合，并且该公式集合中的每一个公式都代表着知识的一个片段，由此我们可以给定理一个更准确的表达（这里所说的定理指的是在一阶逻辑中的定理，通常来说任意一个命题集合往往不一定是定理）。定理在逻辑中的定义︰

一个定理是一个含有由建立于语言集合${\displaystyle L}$上的命题（${\displaystyle L}$-命題）组成的非空集合。

这个定理（或这个命题集合）我们记作${\displaystyle T}$，这些建立于语言集合${\displaystyle L}$上的命题必须符合如下属性：

对所有在${\displaystyle T}$中的命题${\displaystyle \varphi }$，如果${\displaystyle T\vDash \varphi }$，那么${\displaystyle \varphi \in T}$。

比如一个永真命题集合是一个定理，这个永真命题集合被包含在所有建立在语言集合${\displaystyle L}$上的定理中。此外，我们说一个定理是另外一个定理${\displaystyle T}$的扩展（extension），前提是该定理包含定理${\displaystyle T}$。

有一个命题集合${\displaystyle A}$，我们將一个包含${\displaystyle A}$的集合记作${\displaystyle {\mbox{Th}}(A)}$，那麽${\displaystyle {\mbox{Th}}(A)=\{\ \varphi \ \ |\ \ A\vDash \varphi \ \}}$ 。显而易见${\displaystyle A\vDash {\mbox{Th}}(A)}$，所以${\displaystyle {\mbox{Th}}(A)}$是一个定理。比如我们有一个集合${\displaystyle G}$，${\displaystyle G}$有三个基于语言${\displaystyle L}$上的命题，其中${\displaystyle L=\{e,f\}}$，${\displaystyle e}$是常数符号，${\displaystyle f}$是函数符号。三个命题如下：

${\displaystyle \forall x\forall y\forall zf(f(x,y),z)=f(x,f(y,z))}$，

${\displaystyle \forall xf(x,e)=x\land f(e,x)=x}$，

${\displaystyle \forall x\exists yf(x,y)=e\land f(y,x)=e}$。

那么如果有${\displaystyle {\mbox{Th}}(G)=\{\ \varphi \ \ |\ \ G\vDash \varphi \ \}}$，則${\displaystyle {\mbox{Th}}(G)}$是${\displaystyle G}$的定理。当然，如果${\displaystyle A}$和${\displaystyle B}$是两个命题集合且满足${\displaystyle A\subseteq B}$，那么${\displaystyle {\mbox{Th}}(A)\subseteq {\mbox{Th}}(B)}$。

我们说一个定理${\displaystyle T}$是完整的（Complete），当且仅当对于和${\displaystyle T}$一样构建在同样语言集合上的所有命题${\displaystyle \varphi }$，要么${\displaystyle \varphi \in T}$，要么${\displaystyle \lnot \varphi \in T}$。

注意：这个概念不能和定理${\displaystyle T}$的完备性（Completude）混淆，完备性是证明在定理${\displaystyle T}$中的永真命题是递推可枚举的（recursivement enumerable），但是不能说它一定是完整的。

不是所有的定理是完整的。比如${\displaystyle {\mbox{Th}}(\Phi )}$一个空集合${\displaystyle \{\Phi \}}$的定理是所有真命题集合，但是${\displaystyle {\mbox{Th}}(\Phi )}$不是完整的。假如有命題${\displaystyle \Psi =\exists x\exists y(x\neq y)}$，对于${\displaystyle \Psi }$来说，它既不是永真命题，也不是永假命题，它是一个可满足式的命题，也就是说${\displaystyle {\mbox{Th}}(\Phi )\nvDash \Psi }$且${\displaystyle {\mbox{Th}}(\Phi )\nvDash \lnot \Psi }$。因此${\displaystyle \Psi \notin {\mbox{Th}}(\Phi )}$，所以我们说${\displaystyle {\mbox{Th}}(\Phi )}$不是完整的。 一个定理${\displaystyle T}$称作是稳健的（Consistante），当且仅当${\displaystyle \forall \varphi \in T,\ \lnot \varphi \notin T}$。我们说对所有的解释（Interpretation）${\displaystyle I}$，${\displaystyle {\mbox{Th}}(I)}$是一个定理，并且${\displaystyle {\mbox{Th}}(I)}$既是稳健的又是完整的。

参见

• 数学定理列表