二次曲面

二次曲面（英語：Quadrics）指任何n維的超曲面，其定義為多元二次方程的解的軌跡。

在坐标${\displaystyle \{x_{0},x_{1},x_{2},\ldots ,x_{D}\}}$，二次曲面的定義為代數方程 ：

${\displaystyle \sum _{i,j=0}^{D}Q_{i,j}x_{i}x_{j}+\sum _{i=0}^{D}P_{i}x_{i}+R=0}$。

上式亦可以用矩陣乘法和向量的內積等概念，寫成以下形式：

${\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\\\end{pmatrix}};}$　${\displaystyle A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{12}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{1n}&a_{2n}&\cdots &a_{nn}\\\end{pmatrix}};}$　${\displaystyle \mathbf {b} ={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{n}\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle \langle A\mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle +\langle \mathbf {b} ,\mathbf {x} \rangle +c=0}$

二次曲面是代數簇的一種。

欧几里得空间

二次曲面的方程为：

${\displaystyle Q=\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}+Dxy+Eyz+Fxz+Gx+Hy+Iz+J=0\right\}}$

未退化的一般实二次曲面
橢球面	${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}+{z^{2} \over c^{2}}=1\,}$
橢圓拋物面	${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-z=0\,}$
雙曲拋物面	${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}-{y^{2} \over b^{2}}-z=0\,}$
單葉雙曲面	${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=1\,}$
雙葉雙曲面	${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=-1\,}$
退化的二次曲面
椭圆锥面	${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=0\,}$
橢圓柱面	${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}=1\,}$
雙曲柱面	${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}-{y^{2} \over b^{2}}=1\,}$
拋物柱面	${\displaystyle x^{2}+2ay=0\,}$

参考来源

1. [1] （页面存档备份，存于互联网档案馆）, Quadrics in Geometry Formulas and Facts by Silvio Levy, excerpted from 30th Edition of the CRC Standard Mathematical Tables and Formulas (CRC Press).