加法逆元

設「+」為一個交換性的二元運算，即對於所有${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle x+y=y+x}$。若該集合中存在一個元素${\displaystyle 0}$，使得對於所有${\displaystyle x}$, ${\displaystyle x+0=0+x=x}$，則此元素是唯一的。如果對於一個給定的${\displaystyle x}$，存在一個${\displaystyle x'}$使得${\displaystyle x+x'=x'+x=0}$，則稱${\displaystyle x'}$是${\displaystyle x}$的加法逆元。

若「+」滿足結合律，則任意數的加法逆元是唯一的。

反證法： 設${\displaystyle x}$有兩個相異的加法逆元${\displaystyle x_{1}}$、${\displaystyle x_{2}}$
有${\displaystyle x=x+0}$ 的關係。
⇒ ${\displaystyle 0=x+x_{1}=x+x_{2}}$
⇒ ${\displaystyle x_{1}=x_{2}}$
產生矛盾，證訖。

• 向量空間：純量乘法${\displaystyle -1}$
• 歐幾里得空間：以原點為中心的反演變換