正态分布 （normal distribution 常態分布 ），物理学中通称高斯分佈 （Gaussian distribution 連續機率分布 。正态分布在统计学 上十分重要，經常用在自然 和社会科学 來代表一個不明的隨機變量。
正态分布 概率密度函數
累積分布函數
顏色與機率密度函數相同 记号 N ( μ , σ 2 ) {\displaystyle N(\mu ,\sigma ^{2})} 参数 μ {\displaystyle \mu } σ 2 > 0 {\displaystyle \sigma ^{2}>0} 值域 x ∈ ( − ∞ ; + ∞ ) {\displaystyle x\in (-\infty ;+\infty )\!} 概率密度函数 1 σ 2 π exp ( − ( x − μ ) 2 2 σ 2 ) {\displaystyle {\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\;\exp \left(-{\frac {\left(x-\mu \right)^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\!} 累積分布函數 1 2 ( 1 + erf x − μ σ 2 ) {\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(1+\operatorname {erf} {\frac {x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)\!} 期望值 μ {\displaystyle \mu } 中位數 μ {\displaystyle \mu } 眾數 μ {\displaystyle \mu } 方差 σ 2 {\displaystyle \sigma ^{2}} 偏度 0 峰度 0 熵 ln ( σ 2 π e ) {\displaystyle \ln \left(\sigma {\sqrt {2\,\pi \,e}}\right)\!} 矩生成函数 M X ( t ) = exp ( μ t + σ 2 t 2 2 ) {\displaystyle M_{X}(t)=\exp \left(\mu \,t+\sigma ^{2}{\frac {t^{2}}{2}}\right)} 特徵函数 ϕ X ( t ) = exp ( μ i t − σ 2 t 2 2 ) {\displaystyle \phi _{X}(t)=\exp \left(\mu \,i\,t-{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}\right)}
「normal distribution」的各地常用譯名 中国大陸 正态分布 港澳 常態分佈、正態分佈 臺灣 常態分布 日本 正規分布 韓國 正規分布
若隨機變數X {\displaystyle X} μ {\displaystyle \mu } 标准差 為σ {\displaystyle \sigma }
X ∼ N ( μ , σ 2 ) , {\displaystyle X\sim N(\mu ,\sigma ^{2}),} 則其機率密度函數 為 f ( x ) = 1 σ 2 π e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 {\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\;e^{-{\frac {\left(x-\mu \right)^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\!}
正态分布的數學期望值或期望值 μ {\displaystyle \mu } 方差 σ 2 {\displaystyle \sigma ^{2}} 標準差 σ {\displaystyle \sigma }
中心极限定理指出，在特定条件下，一个具有有限均值 和方差 的随机变量 的多个样本(观察值)的平均值本身就是一个随机变量，其分布随着样本数量的增加而收敛于正态分布。因此，许多与独立过程总和有关的物理量，例如测量误差，通常可被近似为正态分布。
正态分布的機率密度函數曲線呈鐘形，因此人們又經常稱之為鐘形曲線 （类似于寺庙里的大钟，因此得名）。我們通常所說的標準正态分布 是位置參數μ = 0 {\displaystyle \mu =0} σ 2 = 1 {\displaystyle \sigma ^{2}=1}
正态分布是自然科學 與行為科學 中的定量現象的一個方便模型。各種各樣的心理學 測試分數和物理 現象比如光子 計數都被發現近似地服從正态分布。儘管這些現象的根本原因經常是未知的，理論上可以證明：如果把許多小作用加起來看做一個變量，那麼這個變量服從正态分布（在R.N.Bracewell的Fourier transform and its application中可以找到一種簡單的證明）。正态分布出現在許多區域統計 ：例如，採樣分布均值 是近似正态分布的，即使被採樣的樣本的原始群體分布並不服從正态分布。另外，正态分布信息熵在所有的已知均值及方差的分布中最大，這使得它作為一種均值 以及方差 已知的分布的自然選擇。正态分布是在統計以及許多統計測試中最廣泛應用的一類分布。在概率論 ，正态分布是幾種連續以及離散分布的極限分布。
正态分布最早由棣莫弗于1733年在研究二项分布时提出，相关内容后收录于其著作《机会论》（1718年初版，后续版本增补）。當二項隨機變數的位置參數n很大及形狀參數 p {\displaystyle p} 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} Theorie Analytique des Probabilites n {\displaystyle n} 1 > p > 0 {\displaystyle 1>p>0}
拉普拉斯在誤差分析試驗中使用了正态分布。勒讓德於1805年引入最小二乘法這一重要方法；而高斯 則宣稱他早在1794年就使用了該方法，並通過假設誤差服從常態分布給出了嚴格的證明。
将正态分布称作「鐘形曲線」的习惯可以追溯到Jouffret他在1872年首次提出此術語（Bell curve）用來指代二元常態分布。正态分布這個名字也在1875分别被查爾斯·皮爾士、法蘭西斯·高爾頓、威爾赫姆·萊克希斯獨立地使用。然而這個術語具有误导性，因為它反映和鼓勵了一種謬誤，即很多概率分布都是常態的。（請參考下面的「實例」）
這個分布被稱為「常態」或者「高斯」正好是史蒂格勒名字由來法則的一個例子，這個法則說「沒有科學發現是以它最初的發現者命名的」。
有幾種不同的方法用來說明一個隨機變量。最直觀的方法是概率密度函數 ，這種方法能表示隨機變量每個取值有多大的可能性。累積分布函數 是一種概率上更加清楚的方法，請看下邊的例子。還有一些其他的等價方法，例如cumulant、特徵函數、動差生成函數以及cumulant-生成函數。這些方法中有一些對於理論工作非常有用，但是不夠直觀。請參考關於概率分布 的討論。
正态分布 的概率密度函數 均值為μ {\displaystyle \mu } 方差 為σ 2 {\displaystyle \sigma ^{2}} 標準差 σ {\displaystyle \sigma }
f ( x ; μ , σ ) = 1 σ 2 π exp ( − ( x − μ ) 2 2 σ 2 ) {\displaystyle f(x;\mu ,\sigma )={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\,\exp \left(-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)} (請看指數函數以及π {\displaystyle \pi } )
如果一個隨機變量 X {\displaystyle X} X {\displaystyle X} N ( μ , σ 2 ) {\displaystyle N(\mu ,\sigma ^{2})} μ = 0 {\displaystyle \mu =0} σ = 1 {\displaystyle \sigma =1} 標準正态分布 ，這個分布能夠簡化為
f ( x ) = 1 2 π exp ( − x 2 2 ) {\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,\exp \left(-{\frac {x^{2}}{2}}\right)} 右邊是給出了不同參數的正态分布的函數圖。
正态分布中一些值得注意的量：
密度函數關於平均值對稱 平均值與它的眾數（statistical mode）以及中位數 （median）同一數值。 函數曲線下68.268949%的面積在平均數左右的一個標準差 範圍內。 95.449974%的面積在平均數左右兩個標準差2 σ {\displaystyle 2\sigma } 99.730020%的面積在平均數左右三個標準差3 σ {\displaystyle 3\sigma } 99.993666%的面積在平均數左右四個標準差4 σ {\displaystyle 4\sigma } 函數曲線的拐點（inflection point）為離平均數一個標準差距離的位置。
累積分布函數 是指隨機變數X {\displaystyle X} x {\displaystyle x}
F ( x ; μ , σ ) = 1 σ 2 π ∫ − ∞ x exp ( − ( t − μ ) 2 2 σ 2 ) d t . {\displaystyle F(x;\mu ,\sigma )={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\int _{-\infty }^{x}\exp \left(-{\frac {(t-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\ \right)\,dt.} 正态分布的累積分布函数能够由一個叫做误差函数的特殊函数表示：
Φ ( z ) = 1 2 [ 1 + erf ( z − μ σ 2 ) ] . {\displaystyle \Phi (z)={\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {z-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)\right].} 標準正态分布 的累積分布函數習慣上記為Φ {\displaystyle \Phi } 是指μ = 0 {\displaystyle \mu =0} σ = 1 {\displaystyle \sigma =1} 的值，
Φ ( x ) = F ( x ; 0 , 1 ) = 1 2 π ∫ − ∞ x exp ( − t 2 2 ) d t . {\displaystyle \Phi (x)=F(x;0,1)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x}\exp \left(-{\frac {t^{2}}{2}}\right)\,dt.} 將一般正态分布用誤差函數表示的公式简化，可得：
Φ ( z ) = 1 2 [ 1 + erf ( z 2 ) ] . {\displaystyle \Phi (z)={\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {z}{\sqrt {2}}}\right)\right].} 它的反函數 被稱為反誤差函數，為：
Φ − 1 ( p ) = 2 erf − 1 ( 2 p − 1 ) . {\displaystyle \Phi ^{-1}(p)={\sqrt {2}}\;\operatorname {erf} ^{-1}\left(2p-1\right).} 該分位數函數有時也被稱為probit函數。probit函數已被證明沒有初等原函数。
正态分布的分布函數Φ ( x ) {\displaystyle \Phi (x)} ，它的值可以通過數值積分、泰勒級數 或者漸進序列近似得到。
動差生成函數，或稱動差母函數被定義為exp ( t X ) {\displaystyle \exp(tX)}
正态分布的動差產生函數如下：
M X ( t ) {\displaystyle M_{X}(t)\,} = E ( e t X ) {\displaystyle =\mathrm {E} \left(e^{tX}\right)} = ∫ − ∞ ∞ 1 σ 2 π e ( − ( x − μ ) 2 2 σ 2 ) e t x d x {\displaystyle =\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{\left(-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)}e^{tx}\,dx} = e ( μ t + σ 2 t 2 2 ) {\displaystyle =e^{\left(\mu t+{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}\right)}}
可以通過在指數函數內配平方得到。
特徵函數被定義為exp ( i t X ) {\displaystyle \exp(itX)} 期望值 ，其中i {\displaystyle i}
ϕ X ( t ; μ , σ ) {\displaystyle \phi _{X}(t;\mu ,\sigma )\!} = E [ exp ( i t X ) ] {\displaystyle =\mathrm {E} \left[\exp(itX)\right]} = ∫ − ∞ ∞ 1 σ 2 π exp ( − ( x − μ ) 2 2 σ 2 ) exp ( i t x ) d x {\displaystyle =\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left(-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\exp(itx)\,dx} = exp ( i μ t − σ 2 t 2 2 ) . {\displaystyle =\exp \left(i\mu t-{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}\right).}
把矩生成函數中的t {\displaystyle t} i t {\displaystyle it}
常態分布的一些性質：
如果X ∼ N ( μ , σ 2 ) {\displaystyle X\sim N(\mu ,\sigma ^{2})\,} a {\displaystyle a} b {\displaystyle b} 實數 ，那麼a X + b ∼ N ( a μ + b , ( a σ ) 2 ) {\displaystyle aX+b\sim N(a\mu +b,(a\sigma )^{2})} 期望值 和方差 ). 如果X ∼ N ( μ X , σ X 2 ) {\displaystyle X\sim N(\mu _{X},\sigma _{X}^{2})} Y ∼ N ( μ Y , σ Y 2 ) {\displaystyle Y\sim N(\mu _{Y},\sigma _{Y}^{2})} 隨機變量 ，那麼： 它們的和也滿足常態分布U = X + Y ∼ N ( μ X + μ Y , σ X 2 + σ Y 2 ) {\displaystyle U=X+Y\sim N(\mu _{X}+\mu _{Y},\sigma _{X}^{2}+\sigma _{Y}^{2})} proof 它們的差也滿足常態分布V = X − Y ∼ N ( μ X − μ Y , σ X 2 + σ Y 2 ) {\displaystyle V=X-Y\sim N(\mu _{X}-\mu _{Y},\sigma _{X}^{2}+\sigma _{Y}^{2})} U {\displaystyle U} V {\displaystyle V} X {\displaystyle X} Y {\displaystyle Y} 如果X ∼ N ( 0 , σ X 2 ) {\displaystyle X\sim N(0,\sigma _{X}^{2})} Y ∼ N ( 0 , σ Y 2 ) {\displaystyle Y\sim N(0,\sigma _{Y}^{2})} 它們的積X Y {\displaystyle XY} p {\displaystyle p} p ( z ) = 1 π σ X σ Y K 0 ( | z | σ X σ Y ) , {\displaystyle p(z)={\frac {1}{\pi \,\sigma _{X}\,\sigma _{Y}}}\;K_{0}\left({\frac {|z|}{\sigma _{X}\,\sigma _{Y}}}\right),} K 0 {\displaystyle K_{0}} 它們的比符合柯西分布，滿足X / Y ∼ C a u c h y ( 0 , σ X / σ Y ) {\displaystyle X/Y\sim \mathrm {Cauchy} (0,\sigma _{X}/\sigma _{Y})} 如果X 1 , ⋯ , X n {\displaystyle X_{1},\cdots ,X_{n}} X 1 2 + ⋯ + X n 2 {\displaystyle X_{1}^{2}+\cdots +X_{n}^{2}} n 的卡方分布。
moment 一些常態分布的一階動差如下：
階數 原動差 中心矩 累積量 0 1 0 1 μ {\displaystyle \mu } 0 μ {\displaystyle \mu } 2 μ 2 + σ 2 {\displaystyle \mu ^{2}+\sigma ^{2}} σ 2 {\displaystyle \sigma ^{2}} σ 2 {\displaystyle \sigma ^{2}} 3 μ 3 + 3 μ σ 2 {\displaystyle \mu ^{3}+3\mu \sigma ^{2}} 0 0 4 μ 4 + 6 μ 2 σ 2 + 3 σ 4 {\displaystyle \mu ^{4}+6\mu ^{2}\sigma ^{2}+3\sigma ^{4}} 3 σ 4 {\displaystyle 3\sigma ^{4}} 0
標準常態的所有二階以上的累積量為零。
常態分布有一個非常重要的性質：在特定條件下，大量統計獨立的隨機變量的平均值的分布趨於正态分布，這就是中央極限定理 。中央極限定理的重要意義在於，根據這一定理的結論，其他概率分布可以用正态分布作為近似。
參數為n {\displaystyle n} p {\displaystyle p} n {\displaystyle n} p {\displaystyle p} （有的參考書建議僅在n p {\displaystyle np} n ( 1 − p ) {\displaystyle n(1-p)} 近似正态分布平均數為μ = n p {\displaystyle \mu =np} σ 2 = n p ( 1 − p ) {\displaystyle \sigma ^{2}=np(1-p)}
一泊松分布帶有參數λ {\displaystyle \lambda } λ {\displaystyle \lambda } .近似正态分布平均數為μ = λ {\displaystyle \mu =\lambda } σ 2 = λ {\displaystyle \sigma ^{2}=\lambda }
這些近似值是否完全充分正確取決於使用者的使用需求
正态分布是无穷可微的概率分布。
正态分布是嚴格穩定的概率分布。
在實際應用上，常考慮一組數據具有近似於常態分布的機率分布。若其假設正確，則約68.3% 數值分布在距離平均值有1個標準差之內的範圍，約95.4% 數值分布在距離平均值有2個標準差之內的範圍，以及約99.7% 數值分布在距離平均值有3個標準差之內的範圍。稱為「68-95-99.7法則 」或「經驗法則 」。
數字比率 機率 包含之外比例 百分比 百分比 比例 6999318639000000000♠ 0.318639 σ 25% 75% 3 / 4 6999674490000000000♠ 0.674490 σ 7001500000000000000♠ 507001500000000000000♠ 501 / 7000200000000000000♠ 2 6999994458000000000♠ 0.994458 σ 68% 32% 1 / 3.125 1σ 7001682689492000000♠ 68.2689492 7001317310508000000♠ 31.7310508 1 / 7000315148720000000♠ 3.1514872 7000128155200000000♠ 1.281552 σ 80% 20% 1 / 5 7000164485400000000♠ 1.644854 σ 90% 10% 1 / 10 7000195996400000000♠ 1.959964 σ 95% 5% 1 / 20 2σ 7001954499736000000♠ 95.4499736 7000455002640000000♠ 4.5500264 1 / 7001219778950000000♠ 21.977895 7000257582900000000♠ 2.575829 σ 99% 1% 1 / 100 3σ 7001997300204000000♠ 99.7300204 6999269979600000000♠ 0.2699796 1 / 370.398 7000329052700000000♠ 3.290527 σ 99.9% 0.1% 1 / 7003100000000000000♠ 1000 7000389059200000000♠ 3.890592 σ 99.99% 0.01% 1 / 7004100000000000000♠ 10000 4σ 7001999936660000000♠ 99.993666 6997633400000000000♠ 0.006334 1 / 7004157870000000000♠ 15787 7000441717300000000♠ 4.417173 σ 99.999% 0.001% 1 / 7005100000000000000♠ 100000 7000450000000000000♠ 4.5σ 99.999320 465 3751% 0.000679 534 6249% 1 / 7005147159535800000♠ 147159 .53587006100000000000000♠ 1000 000 每一邊 ) 7000489163800000000♠ 4.891638 σ 7001999999000000000♠ 99.99996996100000000000000♠ 0.00011 / 7006100000000000000♠ 1000 000 5σ 7001999999426697000♠ 99.999942 6697 6995573303000000000♠ 0.000057 3303 1 / 7006174427800000000♠ 1744 278 7000532672399999999♠ 5.326724 σ 7001999999900000000♠ 99.99999 6995100000000000000♠ 0.00001 1 / 7007100000000000000♠ 10000 000 7000573072900000000♠ 5.730729 σ 7001999999990000000♠ 99.999999 6994100000000000000♠ 0.000001 1 / 7008100000000000000♠ 100000 000 7000600000000000000♠ 6σ 7001999999998027000♠ 99.999999 8027 6993197300000000000♠ 0.000000 1973 1 / 7008506797346000000♠ 506797 346 7000610941000000000♠ 6.109410 σ 7001999999999000000♠ 99.9999999 6993100000000000000♠ 0.0000001 1 / 7009100000000000000♠ 1000 000 000 7000646695100000000♠ 6.466951 σ 7001999999999900000♠ 99.999999 99 6992100000000000000♠ 0.000000 01 1 / 7010100000000000000♠ 10000 000 000 7000680650200000000♠ 6.806502 σ 7001999999999990000♠ 99.999999 999 6991100000000000000♠ 0.000000 001 1 / 7011100000000000000♠ 100000 000 000 7σ 99.999999 999 7440% 6990256000000000000♠ 0.000000 000 256 1 / 7011390682215445000♠ 390682 215 445
R ∼ R a y l e i g h ( σ ) {\displaystyle R\sim \mathrm {Rayleigh} (\sigma )} R = X 2 + Y 2 {\displaystyle R={\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}} X ∼ N ( 0 , σ 2 ) {\displaystyle X\sim N(0,\sigma ^{2})} Y ∼ N ( 0 , σ 2 ) {\displaystyle Y\sim N(0,\sigma ^{2})} Y ∼ χ ν 2 {\displaystyle Y\sim \chi _{\nu }^{2}} ν {\displaystyle \nu } Y = ∑ k = 1 ν X k 2 {\displaystyle Y=\sum _{k=1}^{\nu }X_{k}^{2}} X k ∼ N ( 0 , 1 ) {\displaystyle X_{k}\sim N(0,1)} k = 1 , … , ν {\displaystyle k=1,\dots ,\nu } Y ∼ C a u c h y ( μ = 0 , θ = 1 ) {\displaystyle Y\sim \mathrm {Cauchy} (\mu =0,\theta =1)} Y = X 1 X 2 {\displaystyle Y={\frac {X_{1}}{X_{2}}}} X 1 ∼ N ( 0 , 1 ) {\displaystyle X_{1}\sim N(0,1)} X 2 ∼ N ( 0 , 1 ) {\displaystyle X_{2}\sim N(0,1)} Y ∼ Log-N ( μ , σ 2 ) {\displaystyle Y\sim {\mbox{Log-N}}(\mu ,\sigma ^{2})} Y = e X {\displaystyle Y=e^{X}} X ∼ N ( μ , σ 2 ) {\displaystyle X\sim N(\mu ,\sigma ^{2})} 与Lévy skew alpha-stable分布相关：如果X ∼ Levy-S α S ( 2 , β , σ 2 , μ ) {\displaystyle X\sim {\textrm {Levy-S}}\alpha {\textrm {S}}(2,\beta ,{\frac {\sigma }{\sqrt {2}}},\mu )} X ∼ N ( μ , σ 2 ) {\displaystyle X\sim N(\mu ,\sigma ^{2})}
多元正态分布的協方差矩陣的估計的推導是比較難於理解的。它需要瞭解譜原理（spectral theorem）以及為什麼把一個標量 看做一個1×1矩阵 的迹（trace）而不僅僅是一個標量更合理的原因。請參考協方差矩陣的估計（estimation of covariance matrices）。
某飲料公司裝瓶流程嚴謹，每罐飲料裝填量符合平均600毫升，標準差3毫升的常態分配法則。隨機選取一罐，求（1）容量超過605毫升的機率；（2）容量小於590毫升的機率。
容量超過605毫升的機率 = p ( X > 605 ) = p ( X − μ σ > 605 − 600 3 ) = p ( Z > 5 3 ) = p ( Z > 1.67 ) = 1 − 0.9525 = 0.0475 {\displaystyle =p(X>605)=p({\frac {X-\mu }{\sigma }}>{\frac {605-600}{3}})=p(Z>{\frac {5}{3}})=p(Z>1.67)=1-0.9525=0.0475}
容量小於590毫升的機率= p ( X < 590 ) = p ( X − μ σ < 590 − 600 3 ) = p ( Z < − 10 3 ) = p ( Z < − 3.33 ) = 0.0004 {\displaystyle =p(X<590)=p({\frac {X-\mu }{\sigma }}<{\frac {590-600}{3}})=p(Z<-{\frac {10}{3}})=p(Z<-3.33)=0.0004}
6-標準差(6-sigma或6-σ)的品質管制標準
6-標準差(6-sigma或6-σ)，是製造業流行的品質管制標準。在這個標準之下，一個標準常態分配的變數值出現在正負三個標準差之外，只有2 × 0.0013 = 0.0026 {\displaystyle 2\times 0.0013=0.0026} p ( Z < − 3 ) = 0.0013 {\displaystyle p(Z<-3)=0.0013} p ( Z > 3 ) = 0.0013 {\displaystyle p(Z>3)=0.0013}
6-標準差的範圍= p ( − 3 < Z < 3 ) = p ( − 3 < X − μ σ < 3 ) = p ( − 3 < X − 600 3 < 3 ) = p ( − 9 < X − 600 < 9 ) = p ( 591 < X < 609 ) {\displaystyle =p(-3<Z<3)=p(-3<{\frac {X-\mu }{\sigma }}<3)=p(-3<{\frac {X-600}{3}}<3)=p(-9<X-600<9)=p(591<X<609)}
假設某校入學新生的智力測驗平均分數與标准差分別為100與12。那麼隨機抽取50個學生，他們智力測驗平均分數大於105的機率？小於90的機率？
本例沒有常態分配的假設，還好中央極限定理提供一個可行解，那就是當隨機樣本長度超過30，樣本平均數x ¯ {\displaystyle {\bar {x}}}
因此標準常態變數Z = X ¯ − μ σ n {\displaystyle Z={\frac {{\bar {X}}-\mu }{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}}}
平均分數大於105的機率 P ( Z > 105 − 100 12 50 ) = P ( Z > 5 1.7 ) = P ( Z > 2.94 ) = 0.0016 {\displaystyle P(Z>{\frac {105-100}{\frac {12}{\sqrt {50}}}})=P(Z>{\frac {5}{1.7}})=P(Z>2.94)=0.0016}
平均分數小於90的機率 P ( Z < 90 − 100 12 50 ) = P ( Z < − 5.88 ) = 0.0000 {\displaystyle P(Z<{\frac {90-100}{\frac {12}{\sqrt {50}}}})=P(Z<-5.88)=0.0000}
在计算机模拟中，经常需要生成正态分布的数值。最基本的一个方法是使用标准的正态累积分布函数的反函数。除此之外还有其他更加高效的方法，Box-Muller变换就是其中之一。另一个更加快捷的方法是ziggurat算法。下面将介绍这两种方法。一个简单可行的并且容易编程的方法是：求12个在（0,1）上均匀分布的和，然后减6(12的一半)。这种方法可以用在很多应用中。这12个数的和是Irwin-Hall分布；选择一个方差12。这个随即推导的结果限制在（-6,6）之间，并且密度为12，是用11次多项式估计正态分布。
Box-Muller方法是以两组独立的随机数U和V，这两组数在(0,1]上均匀分布，用U和V生成两组独立的标准常态分布随机变量X和Y:
X = − 2 ln U cos ( 2 π V ) , {\displaystyle X={\sqrt {-2\ln U}}\,\cos(2\pi V),} Y = − 2 ln U sin ( 2 π V ) {\displaystyle Y={\sqrt {-2\ln U}}\,\sin(2\pi V)} 这个方程的提出是因为二自由度的卡方分布（见性质4）很容易由指数随机变量（方程中的lnU）生成。因而通过随机变量V可以选择一个均匀环绕圆圈的角度，用指数分布选择半径然后变换成（正态分布的）x,y坐标。