布尔函数

在数学中，有限布尔函数是如下形式的函数${\displaystyle f:\mathbb {B} ^{k}\rightarrow \mathbb {B} }$，这里的${\displaystyle \mathbb {B} =\{0,1\}}$是布尔域，而 ${\displaystyle k}$ 是非负整数。在 ${\displaystyle k=0}$ 的情况下，函数简单的是 ${\displaystyle \mathbb {B} }$ 的一个恒定元素。

更一般的说，形如 ${\displaystyle f:X\rightarrow \mathbb {B} }$ 函数，这里的 ${\displaystyle X}$ 是任意集合，是布尔值函数。如果${\displaystyle X=\mathbb {M} =\{1,2,3,\cdots \}}$，则 ${\displaystyle f}$ 是“二进制序列”，就是说0和1的无限序列。如果${\displaystyle X=[k]=\{1,2,3,\cdots ,k\}}$，则 ${\displaystyle f}$ 是长度为 ${\displaystyle k}$ 的“二进制序列”

有${\displaystyle 2^{2^{k}}}$个这种函数。

布尔函数可以唯一的写为积（AND）之和（XOR）。这叫做代数范式（ANF），也叫做Zhegalkin多项式。

这里的${\displaystyle a_{0},a_{1},\ldots ,a_{1,2,\ldots ,n}\in \{0,1\}^{*}}$。 序列${\displaystyle a_{0},a_{1},\ldots ,a_{1,2,\ldots ,n}}$的值因此还唯一的表示一个布尔函数。

布尔函数的代数次数被定义为出现在乘积项中的 ${\displaystyle x_{i}}$ 的最高次数。所以${\displaystyle f(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{1}+x_{3}}$有次数1（线性），而${\displaystyle f(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{1}+x_{1}x_{2}x_{3}}$有次数3（立方）。

对于每个函数${\displaystyle f}$都有一个唯一的ANF。只有四个函数有一个参数: ${\displaystyle f(x)=0}$ ，${\displaystyle f(x)=1}$ ，${\displaystyle f(x)=x}$ ，${\displaystyle f(x)=1+x}$ ；它们都可以在ANF中给出。要表示有多个参数的函数，可以使用如下等式：

${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=g(x_{2},\ldots ,x_{n})+x_{1}h(x_{2},\ldots ,x_{n})}$ ，

这里的${\displaystyle g(x_{2},\ldots ,x_{n})=f(0,x_{2},\ldots ,x_{n})}$ 并且 ${\displaystyle h(x_{2},\ldots ,x_{n})=f(0,x_{2},\ldots ,x_{n})+f(1,x_{2},\ldots ,x_{n})}$ 。

实际上，

如果${\displaystyle x_{1}=0}$ ，则${\displaystyle x_{1}h=0}$ ，并因此${\displaystyle f(0,\ldots )=f(0,\ldots )}$ ；

如果${\displaystyle x_{1}=1}$ ，则${\displaystyle x_{1}h=h}$ ，并因此${\displaystyle f(1,\ldots )=f(0,\ldots )+f(0,\ldots )+f(1,\ldots )}$ 。

因为${\displaystyle g}$和${\displaystyle h}$二者都有比${\displaystyle f}$少的参数，可以得出递归的使用这个过程将完成于只有一个变量的函数。

例如，让我们构造一个${\displaystyle f(x,y)=x\lor y}$（逻辑或）的ANF：

${\displaystyle f(x,y)=f(0,y)+x(f(0,y)+f(1,y))}$ ；

因为${\displaystyle f(0,y)=0\lor y=y}$ 并且${\displaystyle f(1,y)=1\lor y=1}$，可以得出${\displaystyle f(x,y)=y+x(y+1)}$；

通过打开括号我们得到最终的ANF：${\displaystyle f(x,y)=y+xy+x=x+y+xy}$ 。

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