圓周率 是数学常数，等於任何圆 的周长和其直径 的比 ，一個常見的近似值 等於3.14159265，常用符号π {\displaystyle \pi }
圓周率 圓周率 識別 種類 無理數超越數 符號 π {\displaystyle \pi } 位數數列編號 A000796 性質 定義 π = C d . {\displaystyle \pi ={\frac {C}{d}}.} C {\displaystyle C} d {\displaystyle d} π = ∫ − 1 1 d x 1 − x 2 . {\displaystyle \pi =\int _{-1}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}.} 連分數 π = 3 + 1 7 + 1 15 + 1 1 + 1 292 + 1 1 + 1 1 + 1 1 + ⋱ {\displaystyle \pi =3+\textstyle {\frac {1}{7+\textstyle {\frac {1}{15+\textstyle {\frac {1}{1+\textstyle {\frac {1}{292+\textstyle {\frac {1}{1+\textstyle {\frac {1}{1+\textstyle {\frac {1}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}}}} 以此為根的多項式或函數 e i x + 1 = 0 {\displaystyle e^{ix}+1=0} 表示方式 值 π ≈ {\displaystyle \pi \approx } 無窮級數 π = ∑ k = 0 ∞ 4 ( − 1 ) k 2 k + 1 {\displaystyle \pi =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {4(-1)^{k}}{2k+1}}} 二进制 11.00100100 0011 1111 0110 … 十进制 3.14159265 3589 7932 3846 … 十六进制 3.243F6A88 85A3 08D3 1319 … :242 六十进制 3;8,29,44,0,47,25,53,7,24,57,36…
各种各样的数 基本 N ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R ⊆ C {\displaystyle \mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C} }
正數 R + {\displaystyle \mathbb {R} ^{+}} 自然数 N {\displaystyle \mathbb {N} } 正整數 Z + {\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}} 有理数 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 代數數 A {\displaystyle \mathbb {A} } 实数 R {\displaystyle \mathbb {R} } C {\displaystyle \mathbb {C} } 高斯整數 Z [ i ] {\displaystyle \mathbb {Z} [i]}
负数 R − {\displaystyle \mathbb {R} ^{-}} 整数 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 负整數 Z − {\displaystyle \mathbb {Z} ^{-}} 超越數 I {\displaystyle \mathbb {I} } Z [ ω ] {\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}
延伸 二元数H {\displaystyle \mathbb {H} } O {\displaystyle \mathbb {O} } S {\displaystyle \mathbb {S} } ∗ R {\displaystyle ^{*}\mathbb {R} }
雙曲複數共四元數 超复数
其他 質數 P {\displaystyle \mathbb {P} }
規矩數p
圓周率 π = 3.14159265 {\displaystyle \pi =3.14159265} e = 2.718281828 {\displaystyle e=2.718281828} i = − 1 {\displaystyle i={\sqrt {-{1}}}} ∞ {\displaystyle \infty }
π {\displaystyle \pi } 分数 表示出来（即它的小数部分是无限不循环小数），但近似22 7 {\textstyle {\frac {22}{7}}} π {\displaystyle \pi } π {\displaystyle \pi } 有理 系数多项式的根；化圆为方的问题不可能用尺规作图解决。
几个文明古国很早就須计算出π {\displaystyle \pi } 印度 数学家也将圆周率计算到小数点后5位。史上首條π {\displaystyle \pi } π {\displaystyle \pi } 计算机技术 快速发展，π {\displaystyle \pi } π {\displaystyle \pi } 十进制 精度已達105万亿位。几乎所有科学研究对π {\displaystyle \pi } π {\displaystyle \pi } :17
π {\displaystyle \pi } 几何学 的许多公式，特别是广泛应用在圆形、球形或椭球形相關公式中。在近代數學分析裡，π {\displaystyle \pi } 實數 系統譜性質中的特征值或週期來定義，其他數學領域如數論 、統計 以及幾乎所有物理學 領域均有出現，π {\displaystyle \pi } π {\displaystyle \pi } π {\displaystyle \pi } π {\displaystyle \pi }
数学家用小写希腊字母 π {\displaystyle \pi } Pi περίμετρος π {\displaystyle \pi }
关于选择符号π {\displaystyle \pi } 引入π符号 一节。
π {\displaystyle \pi } 圆 的周长C {\displaystyle C} 直径 d {\displaystyle d} :8
π = C d {\displaystyle \pi ={\frac {C}{d}}} 无论圆的大小如何，比值C d {\displaystyle {\frac {C}{d}}} C d {\displaystyle {\frac {C}{d}}} π {\displaystyle \pi } 欧几里得几何 的一些定理，虽然圆的定义可扩展到任意曲面（即非欧几里得几何 ），但这些圆不符合定律π = C d {\displaystyle \pi ={\frac {C}{d}}}
这里，圆的周长指其圆周的弧长，弧长这概念可以不依赖几何学，而是用微积分 学的极限来定义。例如，若想计算笛卡儿坐标系中单位圆x 2 + y 2 = 1 {\displaystyle x^{2}+y^{2}=1} 积分 ：
π = ∫ − 1 1 d x 1 − x 2 . {\displaystyle \pi =\int _{-1}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}.} 上述积分是由卡尔·魏尔斯特拉斯于1841年对π {\displaystyle \pi }
π {\displaystyle \pi } 积分 的定义如今在文献中并不常见。雷默特（Remmert (1991) ）解释说现代教微积分時，大学一般将微分学 课程安排在积分学课程之前，所以不依赖于后者的π的定义就很有必要了。其中一种定义由理查·巴爾策 π {\displaystyle \pi }
在相似的启发下，π {\displaystyle \pi } z {\displaystyle z} exp ( z ) {\displaystyle \exp(z)} exp ( z ) {\displaystyle \exp(z)}
{ … , − 2 π i , 0 , 2 π i , 4 π i , … } = { 2 π k i | k ∈ Z } {\displaystyle \{\dots ,-2\pi i,0,2\pi i,4\pi i,\dots \}=\{2\pi ki|k\in \mathbb {Z} \}} 并且其中包括独特的正实数π {\displaystyle \pi }
基于同样想法但更抽象的定义运用了精巧的拓扑学 和代数学概念，用以下定理描述：存在唯一的从加法模数整数组成的实数群R /Z 到绝对值为1的复数组成的乘法群的连续同态（拓扑学概念，指在拓扑空间 之间的一种态射）。数字π定义为此同态 派生的模的一半。
周长固定，圆会围成最大面积，π同樣表述为等周不等式中出现的常数（乘四分之一）。此外，在很多其他紧密相关的方程中，π作为某些几何或者物理过程的特征值出现；详见下文 。
π {\displaystyle \pi } 两整数之比 的形式（形如22 7 {\textstyle {\frac {22}{7}}} π {\displaystyle \pi } π {\displaystyle \pi } :5 由于π {\displaystyle \pi } π {\displaystyle \pi } 有理数 来近似的程度還無法準確得知（稱為無理性度量），不過估計其無理性度量比e {\displaystyle e} ln ( 2 ) {\displaystyle \ln(2)}
統計隨機性 π {\displaystyle \pi } π {\displaystyle \pi } π {\displaystyle \pi } 证伪 :22-23 。
電腦出現後可生成大量π {\displaystyle \pi } π {\displaystyle \pi } :22, 28–30 。根據無限猴子定理，任何任意長度、由隨機內容組成的子序列看起來都有可能像不隨機生成。因此，就算π {\displaystyle \pi } π {\displaystyle \pi } :3 。
π {\displaystyle \pi } π {\displaystyle \pi } x 5 120 − x 3 6 + x = 0 {\textstyle {\frac {x^{5}}{120}}-{\frac {x^{3}}{6}}+x=0} π {\displaystyle \pi }
π {\displaystyle \pi } π {\displaystyle \pi } π {\displaystyle \pi } 古典时代 即已提出，曾困扰人数千年之久。直至今天，依然有民间数学爱好者声称他们解决了这问题。
π {\displaystyle \pi } 分数 ，但π {\displaystyle \pi }
π = 3 + 1 7 + 1 15 + 1 1 + 1 292 + 1 1 + 1 1 + 1 1 + ⋱ {\displaystyle \pi =3+\textstyle {\frac {1}{7+\textstyle {\frac {1}{15+\textstyle {\frac {1}{1+\textstyle {\frac {1}{292+\textstyle {\frac {1}{1+\textstyle {\frac {1}{1+\textstyle {\frac {1}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}}}} 在这连分数的任意一点截断化简，都能得到π的近似值；前四位近似值是3、22 7 {\displaystyle {\frac {22}{7}}} 333 106 {\displaystyle {\frac {333}{106}}} 355 113 {\displaystyle {\frac {355}{113}}} π {\displaystyle \pi } π {\displaystyle \pi } π {\displaystyle \pi } π {\displaystyle \pi } 代數數 ，又因此不可能是二次無理數；是故π {\displaystyle \pi } π {\displaystyle \pi } π {\displaystyle \pi }
π = 4 1 + 1 2 2 + 3 2 2 + 5 2 2 + 7 2 2 + 9 2 2 + ⋱ = 3 + 1 2 6 + 3 2 6 + 5 2 6 + 7 2 6 + 9 2 6 + ⋱ = 4 1 + 1 2 3 + 2 2 5 + 3 2 7 + 4 2 9 + ⋱ {\displaystyle \pi =\textstyle {\cfrac {4}{1+\textstyle {\frac {1^{2}}{2+\textstyle {\frac {3^{2}}{2+\textstyle {\frac {5^{2}}{2+\textstyle {\frac {7^{2}}{2+\textstyle {\frac {9^{2}}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}=3+\textstyle {\frac {1^{2}}{6+\textstyle {\frac {3^{2}}{6+\textstyle {\frac {5^{2}}{6+\textstyle {\frac {7^{2}}{6+\textstyle {\frac {9^{2}}{6+\ddots }}}}}}}}}}=\textstyle {\cfrac {4}{1+\textstyle {\frac {1^{2}}{3+\textstyle {\frac {2^{2}}{5+\textstyle {\frac {3^{2}}{7+\textstyle {\frac {4^{2}}{9+\ddots }}}}}}}}}}}
圆周率近似值包括：
整数 分数 13 4 {\displaystyle {\frac {13}{4}}} 16 5 {\displaystyle {\frac {16}{5}}} 19 6 {\displaystyle {\frac {19}{6}}} 22 7 {\displaystyle {\frac {22}{7}}} 179 57 {\displaystyle {\frac {179}{57}}} 267 85 {\displaystyle {\frac {267}{85}}} 333 106 {\displaystyle {\frac {333}{106}}} 355 113 {\displaystyle {\frac {355}{113}}} 52163 16604 {\displaystyle {\frac {52163}{16604}}} 53228 16943 {\displaystyle {\frac {53228}{16943}}} 55358 17621 {\displaystyle {\frac {55358}{17621}}} 57843 18412 {\displaystyle {\frac {57843}{18412}}} 60328 19203 {\displaystyle {\frac {60328}{19203}}} 103993 33102 {\displaystyle {\frac {103993}{33102}}} 245850922 78256779 {\displaystyle {\frac {245850922}{78256779}}} 小數 （整数后首80位）：3.1415926535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899... :240 （另见 A000796）其他进位制的近似值
二进制（整数后首48位）：11.00100100 0011 1111 0110 1010 1000 1000 1000 0101 1010 0011… 十六进制 （整数后首20位）：3.243F6A88 85A3 08D3 1319… :242 六十进制（整数后首20位）：3;8,29,44,0,47,25,53,7,24,57,36,17,43,4,29,7,10,3,41,17…
任何复数（以z {\displaystyle z} 实数 对：极坐标系用实数r {\displaystyle r} 半径 ，代表复平面上复数z {\displaystyle z} φ {\displaystyle \varphi } z {\displaystyle z} z {\displaystyle z}
z = r ⋅ ( cos φ + i sin φ ) {\displaystyle z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi )} i {\displaystyle i} i 2 = − 1 {\displaystyle i^{2}=-1} 复分析中，欧拉公式将三角函数与复指数函数糅合在一起：
e i φ = cos φ + i sin φ {\displaystyle e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi } e 欧拉公式确立了e {\displaystyle e} φ = π {\displaystyle \varphi =\pi }
e i π + 1 = 0 {\displaystyle {{{e}^{{i}\,{\pi }}}+{1}}=0} the most remarkable formula in mathematics ），全因它将五个最基本的数学常数简洁联系起来。欧拉等式亦可用于求出方程z n = 1 {\displaystyle z^{n}=1} n {\displaystyle n} n {\displaystyle n}
e 2 π i k n ( k = 0 , 1 , 2 , … , n − 1 ) {\displaystyle e^{\frac {2\pi ik}{n}}\qquad (k=0,1,2,\dots ,n-1)}
π {\displaystyle \pi } 出现 在有关几何的问题中。然而，不少和几何无关的问题也可看到π {\displaystyle \pi }
π {\displaystyle \pi } 振動弦 f {\displaystyle f} [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} f ( 0 ) = f ( 1 ) = 0 {\displaystyle f(0)=f(1)=0} f n ( x ) + λ 2 f ( x ) = 0 {\displaystyle f^{n}(x)+\lambda ^{2}f(x)=0} λ λ {\displaystyle \lambda } λ = π {\displaystyle \lambda =\pi } f ( x ) = sin ( π x ) {\displaystyle f(x)=\sin(\pi x)} λ = π {\displaystyle \lambda =\pi }
π {\displaystyle \pi } 基本模式 f : [ 0 , 1 ] → C {\displaystyle f:[0,1]\rightarrow \mathbb {C} } f ( 0 ) = f ( 1 ) = 0 {\displaystyle f(0)=f(1)=0} f {\displaystyle f} f ′ {\displaystyle f'}
π 2 ∫ 0 1 | f ( x ) | 2 d x ≤ ∫ 0 1 | f ′ ( x ) | 2 d x , {\displaystyle \pi ^{2}\int _{0}^{1}|f(x)|^{2}\,dx\leq \int _{0}^{1}|f'(x)|^{2}\,dx,} 此例中等號成立的條件恰好是f {\displaystyle f} sin ( π x ) {\displaystyle \sin(\pi x)} π {\displaystyle \pi }
π {\displaystyle \pi } 以上所述 ，π {\displaystyle \pi } P {\displaystyle P} 若尔当曲线 ，所圍面積A {\displaystyle A}
4 π A ≤ P 2 {\displaystyle 4\pi A\leq P^{2}} A = π r 2 {\displaystyle A=\pi r^{2}} P = 2 π r {\displaystyle P=2\pi r}
圓周率π {\displaystyle \pi } π {\displaystyle \pi } 狄氏能量
圓周率π {\displaystyle \pi }
f ^ ( ξ ) = ∫ − ∞ ∞ f ( x ) e − 2 π i x ξ d x . {\displaystyle {\hat {f}}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi ix\xi }\,dx.} 傅里叶变换有幾種不同的寫法，但不論怎麼寫，傅里叶变换及反傅里叶变换中，一定會有某處出現π {\displaystyle \pi } L 2 L 1 {\displaystyle L^{1}} L ∞ {\displaystyle L^{\infty }} 同態 。
不确定性原理也用到π {\displaystyle \pi }
∫ − ∞ ∞ x 2 | f ( x ) | 2 d x ∫ − ∞ ∞ ξ 2 | f ^ ( ξ ) | 2 d ξ ≥ ( 1 4 π ∫ − ∞ ∞ | f ( x ) | 2 d x ) 2 {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }x^{2}|f(x)|^{2}\,dx\ \int _{-\infty }^{\infty }\xi ^{2}|{\hat {f}}(\xi )|^{2}\,d\xi \geq \left({\frac {1}{4\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,dx\right)^{2}} 物理的結果，有關量子力学中同時觀測位置及動量的不確定性，見下文 。傅立葉分析中出現π {\displaystyle \pi } 史東－凡紐曼定理 薛定諤表示
高斯积分是对高斯函数e − x 2 {\displaystyle e^{-x^{2}}} π {\displaystyle {\sqrt {\pi }}}
∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x = π {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}} 此积分的计算可以先计算f ( x ) = e − x 2 {\displaystyle f(x)=e^{-x^{2}}} 笛卡尔坐标系 为极坐标系从而求得
( ∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x ) 2 = ∬ R 2 e − ( x 2 + y 2 ) d x d y = ∫ 0 2 π ∫ 0 ∞ e − r 2 r d r d θ = π {\displaystyle \left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx\right)^{2}=\iint _{\mathbf {R} ^{2}}e^{-(x^{2}+y^{2})}\,dxdy=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\infty }e^{-r^{2}}r\,dr\,d\theta =\pi } 其他计算方法可参阅高斯积分。高斯函数更一般的形式为f ( x ) = a exp − ( x − b ) 2 2 c 2 {\textstyle f(x)=a\exp {\frac {-(x-b)^{2}}{2c^{2}}}} f ( x ) = e − x 2 {\textstyle f(x)=e^{-x^{2}}}
另外，当高斯函数为以下形式时，它则是平均数为μ {\displaystyle \mu } σ {\displaystyle \sigma } 機率密度函數 ：
f ( x ) = 1 σ 2 π exp − ( x − μ ) 2 2 σ 2 {\displaystyle f(x)={1 \over \sigma {\sqrt {2\pi }}}\,\exp {\frac {-(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}} 这函数是概率密度函数，函数下方与X轴围成的面积必须为1，令μ = 0 {\displaystyle \mu =0} σ = 1 {\displaystyle \sigma =1} ∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x = π {\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}}
概率论与统计学中的中心极限定理解释了正态分布以及π {\displaystyle \pi } π {\displaystyle \pi } 谱特征 与海森堡不确定性原理相关的特征值，并且在不确定性原理中有
σ x σ p ≥ ℏ 2 {\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}\geq {\frac {\hbar }{2}}} 这里的σ x {\displaystyle \sigma _{x}} σ p {\displaystyle \sigma _{p}} ℏ {\displaystyle \hbar } 約化普朗克常数 ，而不等式的等号当且仅当粒子的波函数为高斯函数使成立。
同样地，π {\displaystyle \pi } f ( x ) = e − π x 2 {\displaystyle f(x)=e^{-\pi x^{2}}} Howe
圓周率在远古时期（西元前一千纪 ）已估算至前两位（3.1）。有些埃及學家聲稱，遠至古王國時期時期的古埃及人已經用22 7 {\textstyle {\frac {22}{7}}}
最早有記載的对圓周率估值在古埃及 和巴比伦 出现，兩估值都与圆周率的正确数值相差不到百分之一。巴比伦曾出土一塊西元前1900至1600年的泥板，泥板上的幾何學陳述暗示人们当时把圓周率視同25 8 {\textstyle {\frac {25}{8}}} :167 埃及的莱因德数学纸草书（鉴定撰寫年份為西元前1650年，但抄自一份西元前1850年的文本）載有用作計算圓面積的公式，该公式中圓周率等于( 16 9 ) 2 {\textstyle ({\frac {16}{9}})^{2}} :167
西元前4世紀的《百道梵書 339 108 {\textstyle {\frac {339}{108}}} 10 {\textstyle {\sqrt {10}}} :169 。
第一條有紀錄、嚴謹計算π {\displaystyle \pi } 阿基米德 發明。:170 這算法用了有一千年之久，因而有時π {\displaystyle \pi } :175、205 阿基米德的算法是在計算圓的外切正六邊形及內接正六邊形的邊長，以此計算π {\displaystyle \pi } 223 71 < π < 22 7 {\textstyle {\frac {223}{71}}<\pi <{\frac {22}{7}}} 3.1408 < π < 3.1429 {\textstyle 3.1408<\pi <3.1429} 22 7 {\textstyle {\frac {22}{7}}} π {\displaystyle \pi } 22 7 {\textstyle {\frac {22}{7}}} :171 。在西元前150年，希臘羅馬的科學家克劳狄乌斯·托勒密在《天文学大成》一書中提到π {\displaystyle \pi } 阿波罗尼奥斯 。:176 數學家在1630年利用多邊形的方式計算π {\displaystyle \pi }
中国历史 上，π {\displaystyle \pi } 10 {\displaystyle {\sqrt {10}}} 142 45 {\textstyle {\frac {142}{45}}} :176–177 。大約在西元265年，曹魏 數學家刘徽創立割圆术，用正3072邊形計算出π 的數值為3.1416。:177 他後來又發明了較快的算法，利用邊數差兩倍的正多邊形，其面積的差值會形成等比數列，其公比為1 4 {\textstyle {\frac {1}{4}}} π {\displaystyle \pi } π {\displaystyle \pi } 22 7 {\textstyle {\frac {22}{7}}} 355 113 {\textstyle {\frac {355}{113}}} π 最準確的估計值。:178 為紀念祖沖之對圓周率發展的貢獻，日本 數學家三上義夫將這推算值命名為“祖沖之圓周率”，簡稱“祖率”。
印度天文學家阿耶波多在西元499年的著作《阿里亞哈塔曆書》中使用了3.1416的數值。:179 斐波那契在大約1220年用獨立於阿基米德多邊形法，計算出3.1418:180 。義大利作家但丁·阿利吉耶里用的數值則是3 + 2 10 ≈ 3.14142 {\textstyle 3+{\frac {\sqrt {2}}{10}}\approx 3.14142} :180
波斯天文學家卡西在1424年利用3×228 邊的多邊形，計算到六十進制的第9位小數，相當十進制的第16位小數。這一突破成為當時的紀錄，延續了約180年。法國數學家弗朗索瓦·韦达在1579年用3×217 邊形計算到第9位小數，佛蘭芒數學家阿德里安·范·羅門在1593年計算到第15位小數。荷蘭數學家鲁道夫·范·科伊伦在1596年計算到第20位小數，他之後又計算到第35位小數（因此在二十世紀初之前，圓周率在德國會稱為鲁道夫數）。:182–183 荷蘭科學家威理博·司乃耳在1621年計算到第34位小數:183 ，而奧地利天文學家克里斯托夫·格林伯格 40 邊形計算到第38位小數，至今這仍是利用多邊形算法可以達到最準確的結果:183 。
16及17世紀時，開始改用無窮级数的方式去計π {\displaystyle \pi } :185–191 。無窮级数讓數學家可以計算出比阿基米德 以及其他用幾何方式計算的數學家更準確的結果。:185–191 雖然詹姆斯·格雷果里及戈特弗里德·莱布尼茨等歐洲數學家利用無窮數列計算π 而使得该方法为大家所知，但这种方法最早是由印度 科學家在大約1400到1500年之間發現。:185-186 第一個记载用無窮级数計算π {\displaystyle \pi } 尼拉卡莎·薩默亞士 系統匯編 基本原理 桑加馬格拉馬的馬德哈瓦 sin {\displaystyle \sin } tan {\displaystyle \tan } cos {\displaystyle \cos } 馬德哈瓦數列 π {\displaystyle \pi }
歐洲發現的第一條無窮項圓周率公式是無窮乘積（和一般用來計算π {\displaystyle \pi } :187 ：
2 π = 2 2 ⋅ 2 + 2 2 ⋅ 2 + 2 + 2 2 ⋯ {\displaystyle {\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdots } 約翰·沃利斯在1655年發現了沃利斯乘积，是歐洲發現的第二條無窮項圓周率公式:187 ：
π 2 = 2 1 ⋅ 2 3 ⋅ 4 3 ⋅ 4 5 ⋅ 6 5 ⋅ 6 7 ⋅ 8 7 ⋅ 8 9 ⋯ {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots } 微积分学由英國科學家艾萨克·牛顿及德國數學家戈特弗里德·莱布尼茨在1660年代發明，許多計π {\displaystyle \pi } arcsin {\displaystyle \arcsin } π {\displaystyle \pi }
蘇格蘭數學家詹姆斯·格雷果里在1671年發現了馬德哈瓦公式，莱布尼茨也在1674年發現：:188–189
arctan z = z − z 3 3 + z 5 5 − z 7 7 + ⋯ {\displaystyle \arctan z=z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{5}}-{\frac {z^{7}}{7}}+\cdots } 這公式即為格雷果里－莱布尼茨公式，在z = 1 {\displaystyle z=1} π 4 {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}} z = 1 3 {\displaystyle z={\frac {1}{\sqrt {3}}}} :189 格雷果里－莱布尼茨公式在z = 1 {\displaystyle z=1} :156
約翰·梅欽在1706年用格雷果里－莱布尼茨級數產生了可以快速收斂的公式：:192–193
π 4 = 4 arctan 1 5 − arctan 1 239 {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=4\,\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}} 梅欽用這公式計到π {\displaystyle \pi } :72–74 後來其他數學家也發展了一些類似公式，現在稱為梅欽類公式，創下了許多計算π {\displaystyle \pi } :72–74 在進入電腦時代時，梅欽類公式仍然是耳熟能详可以計算π {\displaystyle \pi } π {\displaystyle \pi } Daniel Ferguson :192–196, 205
1844年，計算天才扎卡里亞斯·達斯 π {\displaystyle \pi } :194-196 英國數學家威廉·謝克斯 π {\displaystyle \pi } :194–196
有些π {\displaystyle \pi } π {\displaystyle \pi } :15–17, 70–72, 104, 156, 192–197, 201–202 。以下是π {\displaystyle \pi } :69–72
π = 4 1 − 4 3 + 4 5 − 4 7 + 4 9 − 4 11 + 4 13 − ⋯ {\displaystyle \pi ={\frac {4}{1}}-{\frac {4}{3}}+{\frac {4}{5}}-{\frac {4}{7}}+{\frac {4}{9}}-{\frac {4}{11}}+{\frac {4}{13}}-\cdots } 隨著一項一項的值加入總和中，只要項次夠多，總和最後會慢慢接近π。不過此數列的收斂速度很慢，要到50萬項之後，才會精確到π {\displaystyle \pi }
尼拉卡莎在15世紀發展了π {\displaystyle \pi }
π = 3 + 4 2 × 3 × 4 − 4 4 × 5 × 6 + 4 6 × 7 × 8 − 4 8 × 9 × 10 + ⋯ {\displaystyle \pi =3+{\frac {4}{2\times 3\times 4}}-{\frac {4}{4\times 5\times 6}}+{\frac {4}{6\times 7\times 8}}-{\frac {4}{8\times 9\times 10}}+\cdots } 以下比較兩條級數的收斂速率：
π {\displaystyle \pi } 第1項 前2項 前3項 前4項 前5項 收斂到 π = 4 1 − 4 3 + 4 5 − 4 7 + 4 9 − 4 11 + 4 13 ⋯ . {\displaystyle \pi ={\frac {4}{1}}-{\frac {4}{3}}+{\frac {4}{5}}-{\frac {4}{7}}+{\frac {4}{9}}-{\frac {4}{11}}+{\frac {4}{13}}\cdots .} 4.0000 2.6666… 3.4666… 2.8952… 3.3396… 3.1415… π = 3 + 4 2 × 3 × 4 − 4 4 × 5 × 6 + 4 6 × 7 × 8 ⋯ . {\displaystyle \pi ={3}+{\frac {4}{2\times 3\times 4}}-{\frac {4}{4\times 5\times 6}}+{\frac {4}{6\times 7\times 8}}\cdots .} 3.0000 3.1666… 3.1333… 3.1452… 3.1396…
計算前五項後，格雷果里－萊布尼茨級數的和跟π {\displaystyle \pi } π {\displaystyle \pi }
并非所有和π {\displaystyle \pi } π {\displaystyle \pi } π {\displaystyle \pi }
π 2 6 = 1 1 2 + 1 2 2 + 1 3 2 + 1 4 2 + ⋯ {\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{6}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots } 1761年，瑞士数学家约翰·海因里希·朗伯用正切函数的无穷连分数表达式证明了π {\displaystyle \pi } :5 1794年，法国数学家阿德里安－马里·勒让德证明了π 2 {\displaystyle \pi ^{2}} α {\displaystyle \alpha } e α {\displaystyle e^{\alpha }} 超越數 ，進而证实了勒让德和欧拉提出的π超越性猜想。:196 哈代在其著作《数论导引》中则称此证明在提出後，經過希尔伯特、施瓦兹和其他一些人化简过。
π {\displaystyle \pi } 在用π {\displaystyle \pi } :166 。威廉·奥特雷德在1647年起在《數學之鑰》（Clavis Mathematicae）就已經用π {\displaystyle \pi } δ {\displaystyle \delta }
威廉·琼斯在他1706年出版的《新數學導論》（A New Introduction to the Mathematics π {\displaystyle \pi } π {\displaystyle \pi } π {\displaystyle \pi } π {\displaystyle \pi } περιφέρεια π {\displaystyle \pi } π {\displaystyle \pi } :166 。
瓊斯在1706年開始使用此希臘字母，但直到萊昂哈德·歐拉在其1736年出版的《力學 π {\displaystyle \pi } c 或p 之類的字母代表圓周率:166 。歐拉與歐洲其他數學家间时常互相写信来往，π {\displaystyle \pi } :166 。1748年歐拉在他的《无穷小分析引论》再一次提到了π {\displaystyle \pi } π {\displaystyle \pi } π {\displaystyle \pi } 西方世界 :166 。
高斯－勒让德算法：
一開始設定
a 0 = 1 b 0 = 1 2 t 0 = 1 4 p 0 = 1 {\displaystyle \scriptstyle a_{0}=1\quad b_{0}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\quad t_{0}={\frac {1}{4}}\quad p_{0}=1} 迭代計算:a n + 1 = a n + b n 2 b n + 1 = a n b n {\displaystyle \scriptstyle a_{n+1}={\frac {a_{n}+b_{n}}{2}}\quad \quad b_{n+1}={\sqrt {a_{n}b_{n}}}}
t n + 1 = t n − p n ( a n − a n + 1 ) 2 p n + 1 = 2 p n {\displaystyle \scriptstyle t_{n+1}=t_{n}-p_{n}(a_{n}-a_{n+1})^{2}\quad \quad p_{n+1}=2p_{n}} 則π 的估計值為
π ≈ ( a n + b n ) 2 4 t n {\displaystyle \scriptstyle \pi \approx {\frac {(a_{n}+b_{n})^{2}}{4t_{n}}}} 二十世紀中期计算机技术发展、革新再次引发了計算π 位數的熱潮。美國數學家约翰·伦奇及李維·史密斯在1949年用桌上型計算機計算到1120位:205 。同年，喬治·韋斯納（George Reitwiesner）及约翰·冯·诺伊曼帶領的團隊利用反三角函数（arctan）的無窮級數，用ENIAC計算到了小數後2037位，花了70小時的電腦工作時間。這紀錄後來多次由其他透過arctan級數计算出的結果打破（1957年到7480位小數，1958年到第一萬位數，1961年到第十萬位小數），直到1973年，小数点后第一百萬位小數經已算出:197 。
1980年代有两项發明加速計算了π。第一项是發现了新的迭代法去计π 的值，計算速度比無窮級數快很多；另一项是發现了可以快速計算大數字乘積的乘法演算法:15–17 。電腦大部分的工作時間都是在計乘法，這類演算法對現代計π 格外重要:131 。這類演算法包括嘉良對馬（Karatsuba）算法、譚曲（Toom－Cook）乘法及以傅里叶变换為基礎的乘法演算法（傅里叶乘法）:132, 140 。
迭代演算法最早是在1975年至1976年间分别由美國物理學家尤金·薩拉明 理查·布蘭特 :87 。這两條演算法没有依赖無窮級數來計算。迭代會重覆特定計算，将前一次的計算結果作为這一次的輸入值，使得計算結果漸漸的趨近理想值。此方式的原始版本其實是在160年前由卡爾·弗里德里希·高斯提出，現在稱為算术－几何平均数算法（AGM法）或高斯－勒让德算法:87 。薩拉明及布蘭特都曾修改之，这算法也稱為薩拉明－布蘭特演算法。
迭代演算法收斂速度比無窮級數快很多，在1980年代以後廣為使用。無窮級數隨著項次的增加，一般來說正確的位數也會增加幾位，但迭代演算法每計算多一次，正確位數會呈几何级数增长。例如薩拉明－布蘭特演算法每計算多一次，正確位數會是之前的二倍。1984年加拿大人喬納森·波温 彼得·波温
π {\displaystyle \pi } 一般而言，π {\displaystyle \pi } Christoph Haenel 可觀測宇宙 圆周的精确度準確至一粒原子大小，足以運算絕大多數宇宙学 的计算需求。尽管如此，和π有關的成就往往成為世界各地的新聞頭條；部分人出于對破紀錄的冲动，依然奋力算出π小数点后上千甚至上百萬位:17–19 。此外也有測試超级计算机、測試数值分析算法（包括高精度乘法算法 :18 。
现代计算π {\displaystyle \pi } π {\displaystyle \pi } :103–104 下式即为一例，其中用到了模方程：
1 π = 2 2 9801 ∑ k = 0 ∞ ( 4 k ) ! ( 1103 + 26390 k ) k ! 4 ( 396 4 k ) . {\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{k!^{4}(396^{4k})}}.} 这无穷级数收敛速度远快于绝大多数反正切数列，包括梅钦公式。:104 第一位使用拉马努金公式计算π并取得进展的是比尔·高斯珀 :104, 206 拉马努金公式开创了现代数值近似算法的先河，此后波尔文兄弟和楚德诺夫斯基兄弟 :110–111 后者于1987年提出了楚德诺夫斯基公式，如下所示：
1 π = 12 640320 3 / 2 ∑ k = 0 ∞ ( 6 k ) ! ( 13591409 + 545140134 k ) ( 3 k ) ! ( k ! ) 3 ( − 640320 ) 3 k . {\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {12}{640320^{3/2}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k)!(k!)^{3}(-640320)^{3k}}}.} 此公式每计算一项就能得到π的约14位数值，因而用於突破圆周率的数位的计算。利用这公式，楚德诺夫斯基兄弟于1989年算得π小数点后10亿（109 ）位，法布里斯·贝拉于2009年算得2.7千亿（2.7×1012 ）位，亚历山大·易和近藤滋在2011年算得一万亿（1013 ）位。:110–111, 206 类似的公式还有拉马努金-佐藤级数
2006年，加拿大数学家西蒙·普勞夫利用PSLQ整数关系算法
π k = ∑ n = 1 ∞ 1 n k ( a q n − 1 + b q 2 n − 1 + c q 4 n − 1 ) {\displaystyle \pi ^{k}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{k}}}\left({\frac {a}{q^{n}-1}}+{\frac {b}{q^{2n}-1}}+{\frac {c}{q^{4n}-1}}\right)} q {\displaystyle q} e π {\displaystyle \pi } k {\displaystyle k} a , b , c {\displaystyle a,b,c}
随机地往内切四分之一圆的正方形内抛掷大量的点。
蒙特卡洛方法基于随机试验结果计算
π {\displaystyle \pi } 的近似值
統計模擬法是以概率统计理论为指导的一类非常重要的计数方法，經大量重复试验计算事件发生频率，按照大数定律（即当试验次数充分大时，频率充分接近概率）可以求得π {\displaystyle \pi } l {\displaystyle l} t ( l ≤ t ) {\displaystyle t\left(l\leq t\right)} n {\displaystyle n} m {\displaystyle m} n {\displaystyle n} π {\displaystyle \pi }
π ≈ 2 n ℓ m t {\displaystyle \pi \approx {\frac {2n\ell }{mt}}} 用統計模擬法计π {\displaystyle \pi } π 4 {\textstyle {\frac {\pi }{4}}} :39–40
此外还可用随机游走试验，并用統計模擬法计算π {\displaystyle \pi } N {\displaystyle N} n N {\displaystyle n_{N}}
Pr ( n N = m ) = ( N m ) ( 1 2 ) m ( 1 2 ) N − m {\displaystyle \Pr(n_{N}=m)={\binom {N}{m}}({\frac {1}{2}})^{m}({\frac {1}{2}})^{N-m}} 因为硬币均匀，所以N X k ( k = 1 , 2 , … ) {\displaystyle X_{k}\left(k=1,2,\ldots \right)} X k = 1 {\displaystyle X_{k}=1} X k = ± 1 {\displaystyle X_{k}=\pm 1} X k ( k = 1 , 2 , … , N ) {\displaystyle X_{k}\left(k=1,2,\ldots ,N\right)}
W N = ∑ k = 1 N X k {\displaystyle W_{N}=\sum _{k=1}^{N}X_{k}} 设k m − ( N − m ) = k {\displaystyle m-\left(N-m\right)=k} m = N + k 2 {\displaystyle m={\frac {N+k}{2}}}
Pr ( W N = k ) = ( N N + k 2 ) 1 2 N {\displaystyle \Pr(W_{N}=k)={\binom {N}{\frac {N+k}{2}}}{\frac {1}{2^{N}}}} k = − N , − N + 2 , − N + 4 , … , N − 2 , N {\displaystyle k=-N,-N+2,-N+4,\ldots ,N-2,N} 可证明，
E ( W N ) = 0 {\displaystyle E(W_{N})=0} E ( W N 2 ) = N {\displaystyle E(W_{N}^{2})=N} E ( | W N | ) = ( N ⌈ N / 2 ⌉ ⌈ N / 2 ⌉ 2 N − 1 ) = { ( N − 1 ) ! ! ( N − 2 ) ! ! , 若 N 偶， N ! ! ( N − 1 ) ! ! , 若 N 奇。 {\textstyle E(|W_{N}|)={\binom {N}{\left\lceil {N/2}\right\rceil {\frac {\left\lceil {N/2}\right\rceil }{2^{N-1}}}}}={\begin{cases}{\frac {(N-1)!!}{(N-2)!!}},&{\text{若 }}N{\text{偶，}}\\{\frac {N!!}{(N-1)!!}},&{\mbox{若 }}N{\mbox{奇。}}\end{cases}}} 并且当N 变大时，E ( | W N | ) {\textstyle E\left(\left\vert W_{N}\right\vert \right)} 的值会渐近于 2 N π {\textstyle {\sqrt {\frac {2N}{\pi }}}} ，因此当N 充分大时可根据以下公式算出 π {\displaystyle \pi } 的近似值：
π ≈ 2 N | W N | 2 {\displaystyle \pi \approx {\frac {2N}{|W_{N}|^{2}}}} 和其他计算π {\displaystyle \pi } π {\displaystyle \pi } π {\displaystyle \pi } :43
1995年引入的兩條算法开辟了研究π {\displaystyle \pi } 阀门算法 :77–84 这就与无穷级数及迭代算法形成对比——无穷级数和迭代算法自始至终的每一步计算都会涉及到之前所有步骤计算出的中间值。:77–84
1995年，美國數學家斯坦·瓦格纳 Stanley Rabinowitz :77 ，其運算速度類似arctan演算法，但速度比迭代算法慢:77 。
贝利－波尔温－普劳夫公式（BBP）是另一條阀门算法，屬於一种位數萃取演算法 :117, 126–128
π = ∑ k = 0 ∞ 1 16 k ( 4 8 k + 1 − 2 8 k + 4 − 1 8 k + 5 − 1 8 k + 6 ) {\displaystyle \pi =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}}}\left({\frac {4}{8k+1}}-{\frac {2}{8k+4}}-{\frac {1}{8k+5}}-{\frac {1}{8k+6}}\right)} 這公式和其他公式不同，可以計算π {\displaystyle \pi } 十六进 小數位，而不用計算前面全部小數位:117, 126–128 。十六进数位可计算得到特定二进数位；想要得到八进制数位的话，计算一、两位十六进小數即可。目前也已發現一些這種演算法的變體，不過還沒有发现針對十進制、可以快速生成特定小數位的位數萃取演算法。位數萃取演算法的一項重要用途是用來確認聲稱是計算到π {\displaystyle \pi }
1998年到2000年間，分布式计算計畫PiHex π {\displaystyle \pi } 15 位，結果是0:20 。2010年9月，有雅虎員工用公司的Apache Hadoop應用程式在上千台電腦計算π在2×1015 位开始往后256位，其第2×1015 位剛好也是0。
利用伽瑪函數計算 伽瑪函數，Γ ( n ) = ( n − 1 ) ! {\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!}
π = Γ ( 1 2 ) 2 {\displaystyle \pi =\Gamma ({\frac {1}{2}})^{2}}
證明如下：
利用歐拉反射公式
Γ ( z ) ∗ Γ ( 1 − z ) = π sin ( π z ) {\displaystyle \Gamma (z)*\Gamma (1-z)={\frac {\pi }{\sin(\pi z)}}}
令 z = 1 2 {\displaystyle z={\frac {1}{2}}}
Γ ( 1 2 ) ∗ Γ ( 1 − 1 2 ) = π sin ( π 2 ) {\displaystyle \Gamma ({\frac {1}{2}})*\Gamma (1-{\frac {1}{2}})={\frac {\pi }{\sin({\frac {\pi }{2}})}}}
因為 sin ( π 2 ) {\displaystyle \sin({\frac {\pi }{2}})}
Γ ( 1 2 ) 2 = π {\displaystyle \Gamma ({\frac {1}{2}})^{2}=\pi }
π {\displaystyle \pi } π {\displaystyle \pi }
π {\displaystyle \pi } 椭圆 、球 、圆锥 与环面）的面积、体积公式中。下面是一些用到π的常见公式：
半径r {\displaystyle r} 2 π r {\displaystyle 2\pi r} 半径r {\displaystyle r} π r 2 {\displaystyle \pi r^{2}} 半径r {\displaystyle r} 4 3 π r 3 {\textstyle {\frac {4}{3}}\pi r^{3}} 半径r {\displaystyle r} 4 π r 2 {\displaystyle 4\pi r^{2}} 上述公式是n 维球的体积与其边界（（n −1）维球的球面）的表面积的特殊情况，具体将在后文 给出解释。
描述由圆生成的图形的周长、面积或体积的定积分 常涉及π {\displaystyle \pi }
∫ − 1 1 1 − x 2 d x = π 2 . {\displaystyle \int _{-1}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\,dx={\frac {\pi }{2}}.} 1 − x 2 {\textstyle {\sqrt {1-x^{2}}}} 勾股定理 得出），从积分上下限-1到1的积分∫ − 1 x {\textstyle \int _{-1}^{x}} x
三角函数要用到角，而数学家常用弧度 作角度单位。π在弧度制起重要作用，数学家将周角，即360度定义为2 π {\displaystyle 2\pi } π {\displaystyle \pi } π 180 ∘ {\textstyle {\frac {\pi }{180^{\circ }}}} π {\displaystyle \pi } θ {\displaystyle \theta } k {\displaystyle k}
sin θ = sin ( θ + 2 π k ) {\textstyle \sin \theta =\sin \left(\theta +2\pi k\right)} cos θ = cos ( θ + 2 π k ) {\textstyle \cos \theta =\cos \left(\theta +2\pi k\right)}
常数π {\displaystyle \pi } 平面微分几何 拓扑学 联系起来的高斯－博内定理中。具体来说，如果紧曲面Σ K {\displaystyle K}
∫ Σ K d A = 2 π χ ( Σ ) {\displaystyle \int _{\Sigma }K\,dA=2\pi \chi (\Sigma )} 其中χ ( Σ ) {\displaystyle \chi (\Sigma )} S {\displaystyle S}
A ( S ) = ∫ S 1 d A = 2 π ⋅ 2 = 4 π {\displaystyle A(S)=\int _{S}1\,dA=2\pi \cdot 2=4\pi } 即为半径为1的球面的表面积公式。
常数π {\displaystyle \pi }
向量分析是与向量場 的性质有关的微积分的分支，并有许多物理用途，例如用在电磁学 中。位于三维笛卡尔坐标系原点的点源Q {\displaystyle Q} 牛顿位势
V ( x ) = − k Q | x | {\displaystyle V(\mathbf {x} )=-{\frac {kQ}{|\mathbf {x} |}}} 表示位于距原点| x | {\displaystyle \left\vert {\boldsymbol {x}}\right\vert } 势能 ，而k {\displaystyle k} E {\displaystyle \mathrm {E} } 電場 ，是位势的负梯度：
E = − ∇ V . {\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla V.} 特殊情况有库仑定律和牛顿万有引力定律 。高斯定律 表明，通过包含原点的任何平滑、简单、封闭、可定向曲面S {\displaystyle S} 4 π k Q {\displaystyle 4\pi kQ}
4 π k Q = {\displaystyle 4\pi kQ=} ∯ {\displaystyle \oiint } S {\displaystyle {\scriptstyle S}} E ⋅ d A {\displaystyle \mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} } 标准形式会将4 π {\displaystyle 4\pi } k {\displaystyle k} 4 π {\displaystyle 4\pi } S {\displaystyle S} R 3 ∖ { 0 } {\displaystyle \mathrm {R} ^{3}\setminus \left\{0\right\}} S {\displaystyle S}
高斯定律的结果之一是位势V {\displaystyle V} 拉普拉斯算子 等于狄拉克δ函数的4 π k Q {\displaystyle 4\pi kQ}
Δ V ( x ) = − 4 π k Q δ ( x ) . {\displaystyle \Delta V(\mathbf {x} )=-4\pi kQ\delta (\mathbf {x} ).} 通过卷积就能得到物质（或电荷）的更一般分布，给出泊松方程
Δ V ( x ) = − 4 π k ρ ( x ) {\displaystyle \Delta V(\mathbf {x} )=-4\pi k\rho (\mathbf {x} )} 其中ρ {\displaystyle \rho }
常数π {\displaystyle \pi } 引力 的基本相互作用描述为物质 和能量 引起的时空弯曲的结果：
R μ ν − 1 2 R g μ ν + Λ g μ ν = 8 π G c 4 T μ ν , {\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu },} R μ v {\displaystyle R_{\mu v}} R {\displaystyle R} g μ v {\displaystyle g_{\mu v}} Λ {\displaystyle \Lambda } G {\displaystyle G} c {\displaystyle c} 光速 ，而T μ v {\displaystyle T_{\mu v}} 8 π {\displaystyle 8\pi }
在复分析中，沿复平面若尔当曲线 的围道积分是研究解析函数的重要手段之一。简化版的柯西積分公式表明，对任何若尔当曲线γ {\displaystyle \gamma } z 0 {\displaystyle z_{0}} 2 π i {\displaystyle 2\pi i}
∮ γ d z z − z 0 = 2 π i . {\displaystyle \oint _{\gamma }{\frac {dz}{z-z_{0}}}=2\pi i.} 该命题是柯西积分定理的直接推论，后者表明上述围道积分在围道的同伦变换下保持不变，因而沿任一曲线的积分和沿以z 0 {\displaystyle z_{0}} z 0 {\displaystyle z_{0}} 卷绕数 。
一般形式的柯西積分公式建立了全纯函数f ( z ) {\displaystyle f(z)} γ {\displaystyle \gamma } z 0 {\displaystyle z_{0}}
∮ γ f ( z ) z − z 0 d z = 2 π i f ( z 0 ) {\displaystyle \oint _{\gamma }{f(z) \over z-z_{0}}\,dz=2\pi if(z_{0})} 柯西积分定理是留数定理的一項特例。根据留数定理，在区域内除去有限个点解析的亚纯函数g ( z ) {\displaystyle g(z)}
∮ γ g ( z ) d z = 2 π i ∑ Res ( g , a k ) {\displaystyle \oint _{\gamma }g(z)\,dz=2\pi i\sum \operatorname {Res} (g,a_{k})}
阶乘函数n ! {\displaystyle n!} n {\displaystyle n}
Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ t z − 1 e t d t {\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{z-1}}{\mathrm {e} ^{t}}}\,{\rm {d}}t} 再利用解析延拓可以将它的定义域扩展到除去非正整数的整塊复数域。当自变量z = n {\displaystyle z=n} Γ {\displaystyle \Gamma } ( n − 1 ) ! {\displaystyle \left(n-1\right)!} π {\displaystyle \pi } Γ ( 1 2 ) = π {\textstyle \Gamma ({\frac {1}{2}})={\sqrt {\pi }}} Γ ( 5 2 ) = 3 π 4 {\textstyle \Gamma ({\frac {5}{2}})={\frac {3{\sqrt {\pi }}}{4}}}
根据魏尔施特拉斯分解定理，Γ {\displaystyle \Gamma }
Γ ( z ) = e − γ z ∏ n = 1 ∞ e z n 1 + z n {\displaystyle \Gamma (z)=e^{-\gamma z}\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {e^{\frac {z}{n}}}{1+{\frac {z}{n}}}}} γ {\displaystyle \gamma } Γ {\displaystyle \Gamma } z = 1 2 {\textstyle z={\frac {1}{2}}} Γ ( 1 2 ) 2 = π {\textstyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)^{2}=\pi } Γ {\displaystyle \Gamma } 函数行列式 π {\displaystyle \pi } 扮演着重要的角色 。
Γ {\displaystyle \Gamma } n {\displaystyle n} n 维球的体积和n 维球面n {\displaystyle n} r {\displaystyle r} n {\displaystyle n} V n ( r ) {\displaystyle V_{n}(r)} S n − 1 ( r ) {\displaystyle S_{n-1}(r)}
V n ( r ) = π n 2 Γ ( n 2 + 1 ) r n {\displaystyle V_{n}(r)={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}}r^{n}} S n − 1 ( r ) = n π n 2 Γ ( n 2 + 1 ) r n − 1 {\displaystyle S_{n-1}(r)={\frac {n\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}}r^{n-1}} 两者还满足如下的关系式：
2 π r = S n + 1 ( r ) V n ( r ) . {\displaystyle 2\pi r={\frac {S_{n+1}(r)}{V_{n}(r)}}.} 当n {\displaystyle n} Γ {\displaystyle \Gamma } n ! {\displaystyle n!} n ! ∼ 2 π n ( n e ) n {\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}
π = lim n → ∞ e 2 n n ! 2 2 n 2 n + 1 . {\displaystyle \pi =\lim _{n\to \infty }{\frac {e^{2n}n!^{2}}{2n^{2n+1}}}.} 斯特灵近似的几何应用之一是埃尔哈特体积猜想 n {\displaystyle n} Δ n {\displaystyle \Delta _{n}} ( n + 1 ) Δ n {\displaystyle \left(n+1\right)\Delta _{n}} n + 1 {\displaystyle n+1}
Vol ( ( n + 1 ) Δ n ) = ( n + 1 ) n n ! ∼ e n + 1 2 π n . {\displaystyle \operatorname {Vol} ((n+1)\Delta _{n})={\frac {(n+1)^{n}}{n!}}\sim {\frac {e^{n+1}}{\sqrt {2\pi n}}}.} 这是仅含一點晶格点之凸体体积的（最佳）上界。
黎曼ζ函数ζ ( s ) {\displaystyle \zeta (s)} s = 2 {\displaystyle s=2}
ζ ( 2 ) = 1 1 2 + 1 2 2 + 1 3 2 + ⋯ {\displaystyle \zeta (2)={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots } 找到这无穷级数的解析解是数学界著名的“巴塞尔问题”。1735年，欧拉解决了这问题，他得到该无穷级数等于π 2 6 {\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{6}}} 6 π 2 {\displaystyle {\frac {6}{\pi ^{2}}}} :41–43 。整数可由质数p {\displaystyle p} 1 p 2 {\displaystyle {\frac {1}{p^{2}}}} p {\displaystyle p} 1 p 2 {\displaystyle {\frac {1}{p^{2}}}} 1 − 1 p 2 {\displaystyle 1-{\frac {1}{p^{2}}}} p {\displaystyle p}
∏ p ∞ ( 1 − 1 p 2 ) = ( ∏ p ∞ 1 1 − p − 2 ) − 1 = 1 1 + 1 2 2 + 1 3 2 + ⋯ = 1 ζ ( 2 ) = 6 π 2 ≈ 61 % . {\displaystyle {\begin{aligned}\prod _{p}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{p^{2}}}\right)&=\left(\prod _{p}^{\infty }{\frac {1}{1-p^{-2}}}\right)^{-1}\\&={\frac {1}{1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots }}\\&={\frac {1}{\zeta (2)}}={\frac {6}{\pi ^{2}}}\approx 61\%.\end{aligned}}} 这结论可结合随机数生成器，用統計模擬法计π {\displaystyle \pi } :43
巴塞尔问题的结论意味着几何导出量π {\displaystyle \pi } 安德烈·韦伊对玉河数的猜想 p {\displaystyle p} 局部对称空间 双曲3-流形 SL2 (R )/SL2 (Z )
ζ {\displaystyle \zeta } π {\displaystyle \pi }
ζ ( s ) = 2 s π s − 1 sin ( π s 2 ) Γ ( 1 − s ) ζ ( 1 − s ) . {\displaystyle \zeta (s)=2^{s}\pi ^{s-1}\ \sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\ \Gamma (1-s)\ \zeta (1-s)\!.} 除此之外， ζ {\displaystyle \zeta }
exp ( − ζ ′ ( 0 ) ) = 2 π . {\displaystyle \exp(-\zeta '(0))={\sqrt {2\pi }}.} 最终的结果是π {\displaystyle \pi } 泛函行列式
周期函数的傅里叶级数很自然出现了π {\displaystyle \pi } T = R Z {\textstyle T={\frac {R}{Z}}} T {\displaystyle T} f {\displaystyle f} T {\displaystyle T} 酉特征 T {\displaystyle T} U ( 1 ) {\displaystyle U(1)} T {\displaystyle T} e n ( x ) = e 2 π i n x {\displaystyle e_{n}(x)=e^{2\pi inx}}
T {\displaystyle T} π {\displaystyle \pi } 2 π {\displaystyle 2\pi } π {\displaystyle \pi } T {\displaystyle T} 2 π {\displaystyle 2\pi } 泊松和公式
常數π {\displaystyle \pi } j变量 π 的方法）。
模形式是以在上半平面的全純函數的在模群 S L 2 ( Z ) {\displaystyle SL_{2}(\mathbb {Z} )} S L 2 ( Z ) {\displaystyle SL_{2}(\mathbb {Z} )} S L 2 ( R ) {\displaystyle SL_{2}(\mathbb {R} )}
θ ( z , τ ) = ∑ n = − ∞ ∞ e 2 π i n z + i π n 2 τ {\displaystyle \theta (z,\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{2\pi inz+i\pi n^{2}\tau }} 它是一種名為雅可比形式 諾姆 q = e π i τ {\displaystyle q=e^{\pi i\tau }}
常數π {\displaystyle \pi } Θ {\displaystyle \Theta }
θ ( z + τ , τ ) = e − π i τ − 2 π i z θ ( z , τ ) {\displaystyle \theta (z+\tau ,\tau )=e^{-\pi i\tau -2\pi iz}\theta (z,\tau )} 它使得θ {\displaystyle \theta } Θ {\displaystyle \Theta } π {\displaystyle \pi } 史東–馮紐曼定理
积分∫ − ∞ ∞ 1 x 2 + 1 d x = π {\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{x^{2}+1}}\,dx=\pi } g ( x ) = 1 π ⋅ 1 x 2 + 1 {\textstyle g(x)={\frac {1}{\pi }}\cdot {\frac {1}{x^{2}+1}}} 概率密度函数 ，总概率等于1。
柯西分布的香农熵等于log ( 4 π ) {\displaystyle \log(4\pi )} π {\displaystyle \pi }
柯西分布在位势论中扮演着重要的角色因为它是最简单的福斯坦堡测度 共轭谐波函数 H {\displaystyle H}
H f ( t ) = 1 π ∫ − ∞ ∞ f ( x ) x − t {\displaystyle Hf(t)={\frac {1}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {f(x)}{x-t}}} 常数π {\displaystyle \pi } H {\displaystyle H} 线性复结构 L 2 ( R ) {\displaystyle L^{2}(R)} π {\displaystyle \pi }
大衛·波（David Boll）在1991年發現在曼德博集合分形也有π 出現。他檢查在曼德博集合在( − 0.75 , 0 ) {\displaystyle (-0.75,0)} ( − 0.75 , ε ) {\displaystyle (-0.75,\varepsilon )} ε {\displaystyle \varepsilon } ε {\displaystyle \varepsilon } π {\displaystyle \pi } ( 0.25 , ε ) {\displaystyle (0.25,\varepsilon )} ε {\displaystyle \varepsilon } π {\displaystyle \pi }
π
π {\displaystyle \pi } π {\displaystyle \pi } 物理常数 ，也常出现在描述宇宙的基本原则方程中。比方说，经典力学领域的简单公式给出长L的单摆小幅摆动的近似周期T ≈ 2 π L g {\textstyle T\approx 2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}} g {\displaystyle g}
海森堡不確定性原理是量子力学的基本公式，表明测量粒子时，其位置不确定度（Δ x {\displaystyle \Delta x} 动量 不确定度（Δ p {\displaystyle \Delta p} h {\displaystyle h} Δ x Δ p ≥ h 4 π {\textstyle \Delta x\,\Delta p\geq {\frac {h}{4\pi }}}
π {\displaystyle \pi } 电子偶素 的半衰期相對較長有密切的联系。其半衰期的倒數和精细结构常数 α {\displaystyle \alpha } 1 τ = 2 π 2 − 9 9 π m α 6 {\textstyle {\frac {1}{\tau }}=2{\frac {\pi ^{2}-9}{9\pi }}m\alpha ^{6}} m {\displaystyle m}
許多結構工程的公式也有π {\displaystyle \pi } L {\displaystyle L} I F {\displaystyle F}
F = π 2 E I L 2 . {\displaystyle F={\frac {\pi ^{2}EI}{L^{2}}}.} 流體動力學 的斯托克斯定律中也有π {\displaystyle \pi } R {\displaystyle R} η {\displaystyle \eta } 流體 中以速度v {\displaystyle v}
F = 6 π η R v . {\displaystyle F=6\,\pi \,\eta \,R\,v.} 在理想状态下，河的曲折程度（河道本身的长度与源头到入海口的比值）随着时间的推移逐渐趋向于π {\displaystyle \pi } π 。
π 的记忆技巧π文字學（或譯作圆周率的语言学）是指記住π {\displaystyle \pi } :44–45 ，并将其世界紀錄載於健力士世界紀錄大全的做法。維爾·美拿（Rajveer Meena）於2015年3月21日在印度於9小時27分鐘內背誦了7萬位的π ，创下健力士世界紀錄大全認證的世界紀錄。2006年，日本退休工程師原口證在千葉縣於官員見證下背誦了十萬位小數，但他未獲健力士世界紀錄大全認證。
常用於記憶π 的一項技巧是背誦以單詞長度代表π {\displaystyle \pi } How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics. :44–45 這類詩歌有時在英文中稱為「piem π 的詩歌亦有不同語言的版本:44-45 。但是，記憶π {\displaystyle \pi } π {\displaystyle \pi } 軌跡法
有好幾位作家仿照上述记忆技巧，用π {\displaystyle \pi } 約束寫作 π {\displaystyle \pi } The Cadaeic Cadenza π {\displaystyle \pi } π {\displaystyle \pi }
也許因為π {\displaystyle \pi } π {\displaystyle \pi }
在2008年由英國公開大學及英國廣播公司聯合制作的記錄片《数学的故事 π 最精確的計算公式的信息图形。
巴黎的科学博物馆發現宮有間圓形房間叫「π {\displaystyle \pi } π {\displaystyle \pi } 威廉·尚克思 :50
卡尔·萨根的小说《接觸未來》中则暗示说，宇宙的创造者在π 的数字中暗藏了一则信息。π 的数字也用在凱特·布希所出的专辑Aerial
美国人在3月14日庆祝圓周率日，此节日在学生中很流行。一些自称“数学极客”的人常常用π {\displaystyle \pi } 歡呼口號 3/14/15 9:26:53较其他圆周率日包含更多位数的π {\displaystyle \pi }
在北电网络于2011年举行的技术专利拍卖会上，谷歌 用了一些包含π {\displaystyle \pi }
阿尔伯特·伊格尔 π {\displaystyle \pi } τ τ {\displaystyle \tau } π {\displaystyle \pi } τ {\displaystyle \tau } τ = 2 π = 6.283185 … {\displaystyle \tau =2\pi =6.283185\ldots } τ {\displaystyle \tau } π {\displaystyle \pi } τ {\displaystyle \tau } τ {\displaystyle \tau } τ {\displaystyle \tau }
1897年，有业余美国数学家试图藉印第安纳州议会来通过後世所謂印第安纳圆周率法案的法案。这法案试图以法律命令强制规定数学常数之值而臭名远播。该法案描述化圆为方的方法，并间接提到了π {\displaystyle \pi } :211–212
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