八元数

八元数（英語：Octonion）是以實數構建的8維度賦範可除代數，為四元数非结合推广的超複數，通常记为O或${\displaystyle \mathbb {O} }$。八元數的8個維度可以視為2個4維度之四元數的組合。八元數不具備結合律和交換律，但具備交错代数的特性，並保有冪結合性。

八元數
符號	${\displaystyle \mathbb {O} }$
種類	超複代數
單位	${\displaystyle e_{n}}$形式： ${\displaystyle e_{0}}$、 ${\displaystyle e_{1}}$、 ${\displaystyle e_{2}}$、 ${\displaystyle e_{3}}$、 ${\displaystyle e_{4}}$、 ${\displaystyle e_{5}}$、 ${\displaystyle e_{6}}$、 ${\displaystyle e_{7}}$ ${\displaystyle ijkl}$形式： 1、 i、 j、 k、 l、 il、 jl、 kl
乘法單位元	${\displaystyle e_{0}}$或1
主要性質	非交換 非结合
數字系統
${\displaystyle \mathbb {N} }$ 自然數 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 整數 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 有理數 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 實數 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ 複數 ${\displaystyle \mathbb {H} }$ 四元數 ${\displaystyle \mathbb {O} }$ 八元数 ${\displaystyle \mathbb {S} }$ 十六元數 ${\displaystyle \mathbb {T} }$ 三十二元數
查 论 编

也许是因为八元数的乘法不具備结合性，因此它们作為超複數而言受關注的程度較四元数低。尽管如此，八元数仍然与数学中的一些例外结构有关，其中包括例外李群。此外，八元数在诸如弦理论、狭义相对论和量子逻辑（英语：Quantum logic）中也有应用。

歷史

八元數第一次被描述於1843年，於一封约翰·格雷夫斯（英语：John T. Graves）給威廉·盧雲·哈密頓的信中。格雷夫斯稱其為「octaves」。^: 168後來八元數由阿瑟·凯莱在1845年獨自發表。格雷夫斯發表結果的時間點比阿瑟·凯莱發表的時間稍晚一些。阿瑟·凯莱發表的八元數和约翰·格雷夫斯給威廉·盧雲·哈密頓的信中所提及的並無關係。阿瑟·凯莱是獨自發現八元數的，因此八元數又被稱為凯莱數或凯莱代數。哈密頓則描述了八元數被發現並描述的早期歷史。

定义

八元数可以视为实数的八元组。八元数有多種構造方式。以凯莱-迪克森结构為例，八元数可以表達為2個四元數P與Q的組合，即 P+Q l 或${\displaystyle p_{0}+p_{1}i+p_{2}j+p_{3}k+\left(q_{0}+q_{1}i+q_{2}j+q_{3}k\right)l\,}$，其中，量l為其中一個八元数單位並滿足：

${\displaystyle i^{2}=j^{2}=k^{2}=l^{2}=-1\,}$

在這種定義下每一个八元数都是单位八元数{1, i, j, k, l, il, jl, kl}的线性组合。也就是说，每一个八元数x都可以写成

${\displaystyle x=x_{0}+x_{1}\,i+x_{2}\,j+x_{3}\,k+x_{4}\,l+x_{5}\,il+x_{6}\,jl+x_{7}\,kl}$

其中系数x_a是实数。 這些八元数單位亦滿足：

${\displaystyle i^{2}=j^{2}=k^{2}=l^{2}=(il)^{2}=(jl)^{2}=(kl)^{2}=-1\,}$

八元数的加法是把对应的系数相加，就像复数和四元数一样。根据线性，八元数的乘法完全由以下单位八元数的乘法表来决定。

${\displaystyle \times }$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle i}$	${\displaystyle j}$	${\displaystyle k}$	${\displaystyle l}$	${\displaystyle il}$	${\displaystyle jl}$	${\displaystyle kl}$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle i}$	${\displaystyle j}$	${\displaystyle k}$	${\displaystyle l}$	${\displaystyle il}$	${\displaystyle jl}$	${\displaystyle kl}$
${\displaystyle i}$	${\displaystyle i}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle k}$	${\displaystyle -j}$	${\displaystyle il}$	${\displaystyle -l}$	${\displaystyle -kl}$	${\displaystyle jl}$
${\displaystyle j}$	${\displaystyle j}$	${\displaystyle -k}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle i}$	${\displaystyle jl}$	${\displaystyle kl}$	${\displaystyle -l}$	${\displaystyle -il}$
${\displaystyle k}$	${\displaystyle k}$	${\displaystyle j}$	${\displaystyle -i}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle kl}$	${\displaystyle -jl}$	${\displaystyle il}$	${\displaystyle -l}$
${\displaystyle l}$	${\displaystyle l}$	${\displaystyle -il}$	${\displaystyle -jl}$	${\displaystyle -kl}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle i}$	${\displaystyle j}$	${\displaystyle k}$
${\displaystyle il}$	${\displaystyle il}$	${\displaystyle l}$	${\displaystyle -kl}$	${\displaystyle jl}$	${\displaystyle -i}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle -k}$	${\displaystyle j}$
${\displaystyle jl}$	${\displaystyle jl}$	${\displaystyle kl}$	${\displaystyle l}$	${\displaystyle -il}$	${\displaystyle -j}$	${\displaystyle k}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle -i}$
${\displaystyle kl}$	${\displaystyle kl}$	${\displaystyle -jl}$	${\displaystyle il}$	${\displaystyle l}$	${\displaystyle -k}$	${\displaystyle -j}$	${\displaystyle i}$	${\displaystyle -1}$

一些不同的定義方式會將八元數的單位元素表達為e_a的線性組合，其中 a=0, 1,..., 7 ：

${\displaystyle \{e_{0},e_{1},e_{2},e_{3},e_{4},e_{5},e_{6},e_{7}\},}$

當中的${\displaystyle e_{0}}$為實數單位。每個八元數單位元素皆不相等，而其平方為實數。也就是說，每個八元數 x 都可以寫成以下形式：

${\displaystyle x=x_{0}e_{0}+x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}+x_{3}e_{3}+x_{4}e_{4}+x_{5}e_{5}+x_{6}e_{6}+x_{7}e_{7},\,}$^: 5

其中x_i為單位元素e_i的係數，且必為實數。八元數的加法和減法是通過加減相應的項以及它們的係數來完成的，與四元數的加減法類似。 乘法則較為複雜。 八元數的乘法是對加法的分配，所以兩個八元數的乘積可以通過對所有項的乘積求和來計算，再次如同四元數一般。 每對項的乘積可以通過係數的乘積和單位八元數的乘法表給出，其乘法表的結構與{1, i, j, k, l, il, jl, kl}的模式（${\displaystyle p_{0}+p_{1}i+p_{2}j+p_{3}k+\left(q_{0}+q_{1}i+q_{2}j+q_{3}k\right)l\,}$）類似。這個乘法表先後由Graves於1843年和Cayley於1845年描述：

${\displaystyle e_{i}e_{j}}$		${\displaystyle e_{j}}$
		${\displaystyle e_{0}}$	${\displaystyle e_{1}}$	${\displaystyle e_{2}}$	${\displaystyle e_{3}}$	${\displaystyle e_{4}}$	${\displaystyle e_{5}}$	${\displaystyle e_{6}}$	${\displaystyle e_{7}}$
${\displaystyle e_{i}}$	${\displaystyle e_{0}}$	${\displaystyle e_{0}}$	${\displaystyle e_{1}}$	${\displaystyle e_{2}}$	${\displaystyle e_{3}}$	${\displaystyle e_{4}}$	${\displaystyle e_{5}}$	${\displaystyle e_{6}}$	${\displaystyle e_{7}}$
	${\displaystyle e_{1}}$	${\displaystyle e_{1}}$	${\displaystyle -e_{0}}$	${\displaystyle e_{3}}$	${\displaystyle -e_{2}}$	${\displaystyle e_{5}}$	${\displaystyle -e_{4}}$	${\displaystyle -e_{7}}$	${\displaystyle e_{6}}$
	${\displaystyle e_{2}}$	${\displaystyle e_{2}}$	${\displaystyle -e_{3}}$	${\displaystyle -e_{0}}$	${\displaystyle e_{1}}$	${\displaystyle e_{6}}$	${\displaystyle e_{7}}$	${\displaystyle -e_{4}}$	${\displaystyle -e_{5}}$
	${\displaystyle e_{3}}$	${\displaystyle e_{3}}$	${\displaystyle e_{2}}$	${\displaystyle -e_{1}}$	${\displaystyle -e_{0}}$	${\displaystyle e_{7}}$	${\displaystyle -e_{6}}$	${\displaystyle e_{5}}$	${\displaystyle -e_{4}}$
	${\displaystyle e_{4}}$	${\displaystyle e_{4}}$	${\displaystyle -e_{5}}$	${\displaystyle -e_{6}}$	${\displaystyle -e_{7}}$	${\displaystyle -e_{0}}$	${\displaystyle e_{1}}$	${\displaystyle e_{2}}$	${\displaystyle e_{3}}$
	${\displaystyle e_{5}}$	${\displaystyle e_{5}}$	${\displaystyle e_{4}}$	${\displaystyle -e_{7}}$	${\displaystyle e_{6}}$	${\displaystyle -e_{1}}$	${\displaystyle -e_{0}}$	${\displaystyle -e_{3}}$	${\displaystyle e_{2}}$
	${\displaystyle e_{6}}$	${\displaystyle e_{6}}$	${\displaystyle e_{7}}$	${\displaystyle e_{4}}$	${\displaystyle -e_{5}}$	${\displaystyle -e_{2}}$	${\displaystyle e_{3}}$	${\displaystyle -e_{0}}$	${\displaystyle -e_{1}}$
	${\displaystyle e_{7}}$	${\displaystyle e_{7}}$	${\displaystyle -e_{6}}$	${\displaystyle e_{5}}$	${\displaystyle e_{4}}$	${\displaystyle -e_{3}}$	${\displaystyle -e_{2}}$	${\displaystyle e_{1}}$	${\displaystyle -e_{0}}$

除了主對角線上以及${\displaystyle e_{0}}$作為操作數的行和列的元素之外，乘法表中的大多數非對角元素都是反對稱的，這使得這個乘法表幾乎是一個斜對稱矩陣。

該表可總結如下：

${\displaystyle e_{i}e_{j}={\begin{cases}e_{j},&{\text{if }}i=0\\e_{i},&{\text{if }}j=0\\-\delta _{ij}e_{0}+\varepsilon _{ijk}e_{k},&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

其中δ_ij為克罗内克δ函数（當且僅當i = j時為1）、 ε_ijk為完全反對稱張量（英语：completely antisymmetric tensor），且當ijk = 123, 145, 176, 246, 257, 347, 365時，值為1。

然而，上述定義並不是唯一的。這些定義只是${\displaystyle e_{0}=1}$八元數乘法的480個可能定義之一。其他的八元數乘法定義可以透過置換和改變非標量基元素${\displaystyle \{e_{0},e_{1},e_{2},e_{3},e_{4},e_{5},e_{6},e_{7}\},}$的符號來獲得。這480個不同乘法定義對應的代數結構是同構的，很少需要考慮使用哪個特定的乘法規則。

這480個八元數乘法定義中，每一定義的正負號在7循環（1234567）下的特定點上都是不變的，並且對於每個7循環有四個定義，它們的區別在於正負號和順序的反轉。 一個常見的選擇是使用 e₁e₂ = e₄的7循環（1234567）下的定義不變量 — 通過使用三角乘法圖或下面的 法诺平面，該平面還顯示了基於124的7循環三元組及其相關乘法的排序列表e_n和${\displaystyle ijkl}$格式的矩陣。

此外，亦有一些文獻會將八元數的單位定義為${\displaystyle 1,i,j,k,L,m,n,o}$。

凯莱-迪克松构造

一个更加系统的定义八元数的方法，是通过凯莱-迪克松构造。就像四元数可以用一对复数来定义一样，八元数可以用一对四元数来定义。两对四元数${\displaystyle (a,b)}$和${\displaystyle (c,d)}$的乘积定义为：^: 153

${\displaystyle (a,b)(c,d)=(ac-d^{*}b,da+bc^{*})}$

其中${\displaystyle z^{*}}$表示四元数${\displaystyle z}$的共轭。这个定义与上面给出的定义是等价的。

法诺平面记忆

一个用来记忆八元数的乘积的方便办法，由右面的图给出。这个图中有七个点和七条直线（经过i、j和k的圆也視為一条直线），称为法诺平面（英语：Fano plane）。这些直线是有向的。七个点对应于Im(${\displaystyle \mathbb {O} }$)的七个标准基元素。每一对不同的点位于唯一的一条直线上，而每一条直线正好通过三个点。

设(a, b, c)为位于一条给定的直线上的三个有序点，其顺序由箭头的方向指定。那么，乘法由下式给出：

ab = c，ba = −c

以及它们的循环置换（英语：Cyclic permutation）。这些规则

• 1是乘法单位元，
• 对于图中的每一个点，都有${\displaystyle e^{2}=-1}$

完全定义了八元数的乘法结构。七条直线的每一条都生成了${\displaystyle \mathbb {O} }$的一个子代数，与四元数${\displaystyle \mathbb {H} }$同构。^{: 151–152}

共轭、範数和逆元素

八元数

${\displaystyle x=x_{0}+x_{1}\,i+x_{2}\,j+x_{3}\,k+x_{4}\,l+x_{5}\,il+x_{6}\,jl+x_{7}\,kl}$

的共轭为：

${\displaystyle x^{*}=x_{0}-x_{1}\,i-x_{2}\,j-x_{3}\,k-x_{4}\,l-x_{5}\,il-x_{6}\,jl-x_{7}\,kl.}$

當中除了實數項外，其餘項正負號皆相反。因此若將八元數單位表達為{e₁, e₂ ... e₇}，則八元数的共轭可以簡化表示為：^: 6

${\displaystyle x^{*}={\overline {x}}=x_{0}e_{0}-x_{i}e_{i},\ i=1,2\cdots 7}$

共轭是${\displaystyle \mathbb {O} }$的一个对合，满足${\displaystyle (xy)^{*}=y^{*}x^{*}}$（注意次序的变化）。

x的实数部分定义为${\displaystyle \mathrm {Re} \left(x\right)={\tfrac {x+x^{*}}{2}}=x_{0}}$，虚数部分定义为${\displaystyle \mathrm {Im} \left(x\right)={\tfrac {x-x^{*}}{2}}}$。所有纯虚的八元数生成了${\displaystyle \mathbb {O} }$的一个七维子空间，记为Im(${\displaystyle \mathbb {O} }$)。^: 186

八元数x的範数可用與自身共軛的積${\displaystyle \|x\|^{2}=x^{*}x}$來定義：

${\displaystyle \|x\|={\sqrt {x^{*}x}}}$

在这里，平方根是定义良好的，因为${\displaystyle x^{*}x=xx^{*}}$总是非负实数：

${\displaystyle \|x\|^{2}=x^{*}x=x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}+x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}}$

这个範数与${\displaystyle \mathbb {R} ^{8}}$上的标准欧几里得範数是一致的。

${\displaystyle \mathbb {O} }$上範数的存在，意味着${\displaystyle \mathbb {O} }$的所有非零元素都存在逆元素。x ≠ 0的逆元素为：^: 6

${\displaystyle x^{-1}={\frac {x^{*}}{\|x\|^{2}}}}$

它满足${\displaystyle xx^{-1}=x^{-1}x=1}$。

性质

八元数的乘法既不是交换的：^: 6

${\displaystyle ij=-ji\neq ji\,}$

也不是结合的：^: 41

${\displaystyle (ij)l=-i(jl)\neq i(jl)\,}$

然而，八元数确实满足结合性的一个较弱形式──交错性^: 2。这就是说，由任何两个元素所生成的子代数（英语：Subalgebra）是结合的。^: 3实际上，我们可以证明，由${\displaystyle \mathbb {O} }$的任何两个元素所生成的子代数都与${\displaystyle \mathbb {R} }$、${\displaystyle \mathbb {C} }$或${\displaystyle \mathbb {H} }$同构，它们都是结合的。由于八元数不满足结合性，因此它们没有矩阵的表示法，与四元数不一样。

八元数确实保留了${\displaystyle \mathbb {R} }$、${\displaystyle \mathbb {C} }$和${\displaystyle \mathbb {H} }$共同拥有的一个重要的性质：${\displaystyle \mathbb {O} }$上的範数满足

${\displaystyle \|xy\|=\|x\|\|y\|}$

这意味着八元数形成了一个非结合的赋範可除代数。所有由凯莱-迪克松构造所定义的更高维代数都不满足这个性质，因為它们都存在零因子。

这样，实数域上唯一的赋範可除代数是${\displaystyle \mathbb {R} }$、${\displaystyle \mathbb {C} }$、${\displaystyle \mathbb {H} }$和${\displaystyle \mathbb {O} }$。这四个代数也形成了实数域上唯一的交错的、有限维的可除代数（英语：Division algebra）。^: 155

由于八元数不是结合的，因此${\displaystyle \mathbb {O} }$的非零元素不形成一个群。然而，它们形成一个拟群。

自同构

八元数的自同构A，是${\displaystyle \mathbb {O} }$的可逆线性变换，满足：

${\displaystyle A(xy)=A(x)A(y).\,}$

${\displaystyle \mathbb {O} }$的所有自同构的集合组成了一个群，称为G₂（英语：G2 (mathematics)）。群G₂是一个单连通、紧致、14维的实李群。这个群是例外李群（英语：w:Exceptional Lie group#Exceptional cases）中最小的一个。

参见

• 双曲复数
• 四元数
• 十六元数
• Spin(8)（英语：Spin(8)）
• PSL(2,7)──法诺平面的自同构群。

註釋

1. 在範数可良好定義的前提下，${\displaystyle {\frac {x+x^{*}}{2}}\in \mathbb {R} }$，且${\displaystyle x^{*}x>0}$，因此可以得到${\displaystyle x^{*}x=xx^{*}}$总是非负实数的結論。

延伸閱讀

• Baez, John, The Octonions, Bull. Amer. Math. Soc., 2002, 39: 145–205 [2008-12-01], （原始内容存档于2008-12-09） . Online HTML version at math.ucr.edu. （原始内容存档于2008-10-09）. 
• Conway, John Horton; Smith, Derek A., On Quaternions and Octonions: Their Geometry, Arithmetic, and Symmetry, A. K. Peters, Ltd., 2003, ISBN 1-56881-134-9 . （Review. （原始内容存档于2016-09-10）. ）