中線

中線或重線是三角形中从某邊的中點連向對角的頂點的线段。三角形的三条中线总是相交于同一点，这个点称为三角形的重心。

性质1

任意三角形的三条中线把三角形分成面积相等的六个部分。中線都把三角形分成面积相等的两个部分。除此之外，任何其他通過中點的直線都不把三角形分成面積相等的兩個部分。

考虑三角形 $ABC$ 。设 $D$ 为 ${\overline {AB}}$ 的中点， $E$ 为 ${\overline {BC}}$ 的中点， $F$ 为 ${\overline {AC}}$ 的中点， $O$ 为重心。

根据定义， $AD=DB,AF=FC,BE=EC$ ，因此 $[ADO]=[BDO],[AFO]=[CFO],[BEO]=[CEO],[ABE]=[ACE]$ ，其中 $[ABC]$ 表示三角形ABC的面积。

我们有：

[ABO]=[ABE]-[BEO]

[ACO]=[ACE]-[CEO]

因此， $[ABO]=[ACO]$ 且 $[ADO]=[DBO],[ADO]={\frac {1}{2}}[ABO]$ 。

由于 $[AFO]=[FCO],[AFO]={\frac {1}{2}}[ACO]={\frac {1}{2}}[ABO]=[ADO]$ ，所以 $[AFO]=[FCO]=[DBO]=[ADO]$ 。同理，也可以证明 $[AFO]=[FCO]=[DBO]=[ADO]=[BEO]=[CEO]$ 。

在 $\triangle ABC$ 中，連接角 $A$ 的中線記為 $m_{a}$ ，連接角 $B$ 的中線記為 $m_{b}$ ，連接角 $C$ 的中線記為 $m_{c}$ ，它們長度的公式為：

m_{a}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2(b^{2}+c^{2})-a^{2}}}

m_{b}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2(c^{2}+a^{2})-b^{2}}}

m_{c}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2(a^{2}+b^{2})-c^{2}}}

在

\triangle ABD

中，

AD=m_{a}

(m_{a})^{2}=(AB)^{2}+(BD)^{2}-2(AB)(BD)\cos \angle ABD

（餘弦定理）

以

a

,

b

,

c

表示

\cos \angle ABD

i.e.\ \cos \angle ABD={\frac {c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2ca}}

&

BD={\frac {a}{2}}

把以上兩等式代入原式，

i.e.\ (m_{a})^{2}=(c)^{2}+({\frac {a}{2}})^{2}-2(c)({\frac {a}{2}}){\frac {c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2ca}}

=(c)^{2}+({\frac {a^{2}}{4}})-({\frac {c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2}})

={\frac {4c^{2}+a^{2}-2c^{2}-2a^{2}+2b^{2}}{4}}

={\frac {2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}{4}}

∴

m_{a}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2(b^{2}+c^{2})-a^{2}}}

同理，可證得其他二式

Q.E.D.