三角不等式

三角不等式是數學上的一個不等式，表示從A到B再到C的距離永不少於從A到C的距離；亦可以說是兩項獨立物件的量之和不少於其和的量。它除了適用於三角形之外，還適用於其他數學範疇及日常生活中。

歐式几何

定理 — 
任意三角形${\displaystyle \Delta ABC}$都有：

${\displaystyle |{\overline {AB}}-{\overline {BC}}|<{\overline {AC}}<{\overline {AB}}+{\overline {BC}}}$

證明

這個证明原记载于《几何原本》第一卷命题20。 如圖，取三角形${\displaystyle \Delta ABC}$。朝點${\displaystyle B}$ 方向延长${\displaystyle {\overline {AB}}}$至点D，并使${\displaystyle {\overline {BD}}={\overline {BC}}}$，联结${\displaystyle {\overline {DC}}}$。 因為三角形 ${\displaystyle \Delta BDC}$ 为等腰三角形，根据第五公设可得${\displaystyle \angle BDC=\angle BCD}$。令： ${\displaystyle \alpha =\angle BDC=\angle BCD}$ ${\displaystyle \beta =\angle ACD}$ 顯然${\displaystyle \beta >\alpha }$。由于角${\displaystyle \beta }$对应边${\displaystyle {\overline {AD}}}$，角${\displaystyle \alpha }$对应边${\displaystyle {\overline {AC}}}$，根據命题19（大角对大边），因此${\displaystyle {\overline {AD}}>{\overline {AC}}}$。 又由于${\displaystyle {\overline {DB}}={\overline {BC}}}$，所以： ${\displaystyle {\overline {AD}}={\overline {AB}}+{\overline {BD}}={\overline {AB}}+{\overline {BC}}>{\overline {AC}}}$ 同樣的，如果朝點${\displaystyle A}$方向延長${\displaystyle {\overline {AB}}}$，如法炮製的話，可以得到： ${\displaystyle {\overline {BA}}+{\overline {AC}}>{\overline {BC}}}$ (1) 朝點${\displaystyle C}$方向延長${\displaystyle {\overline {BC}}}$，如法炮製的話，可以得到： ${\displaystyle {\overline {BC}}+{\overline {CA}}>{\overline {BA}}={\overline {AB}}}$ (2) (1)兩邊各減去${\displaystyle {\overline {AB}}}$有： ${\displaystyle {\overline {AC}}>{\overline {BC}}-{\overline {AB}}}$ (2)兩邊各減去${\displaystyle {\overline {BC}}}$有： ${\displaystyle {\overline {CA}}>{\overline {AB}}-{\overline {BC}}}$ 也就是 ${\displaystyle {\overline {AC}}>|{\overline {AB}}-{\overline {BC}}|}$ 至此本定理得證。${\displaystyle \Box }$

至於：

${\displaystyle {\overline {AC}}={\overline {AB}}+{\overline {BC}}}$

除非三點共線否則在欧氏几何中不可能，要有这种「三角形」只有在打破第五公設的非欧几里得几何裡才會出現，如球面幾何學的球面三角形。或閔考斯基時空：

${\displaystyle \|x+y\|\geq \|x\|+\|y\|}$     对所有 ${\displaystyle x,y\in V}$，使得${\displaystyle \|x\|\geq 0}$, ${\displaystyle \|y\|\geq 0}$ 和 ${\displaystyle t_{x}t_{y}\geq 0}$

這個不等式的物理例子可以在狹義相對論中的雙生子佯謬找到。

向量空間

一種推廣三角不等式的方法是在「可相加和伸縮的空間」（向量空间）裡定義「長度」(范数)，嚴格來說就是所謂的賦範向量空間。但三角不等式在賦範向量空間是個不能證明的前提，而且不一定具有幾何中：

${\displaystyle \left|{\overline {AB}}-{\overline {BC}}\right|\leq {\overline {AB}}+{\overline {BC}}}$

的直觀性質，要確保這種直觀性質的話，需要退一步在向量空间假設内积的構造，換句話說有以下定理:

三角不等式 — 
${\displaystyle V}$ 是個複內積空間，則對所有的${\displaystyle v,\,w\in V}$ 有：

${\displaystyle \left|\|v\|-\|w\|\right|\leq \|v\oplus w\|\leq \|v\|+\|w\|}$

（證明請見内积空间#三角不等式）

實數與複數

事實上，实数系${\displaystyle \mathbb {R} }$跟複數系${\displaystyle \mathbb {C} }$都是以自己為域（純量母空間）的向量空間，它們的向量加法就是普通的加法；純量積就是普通的乘法；至於內積的話，任二複數${\displaystyle z_{1},\,z_{2}\in \mathbb {C} }$的內積可以定義成：

${\displaystyle \langle z_{1},\,z_{2}\rangle :=z_{1}{\overline {z_{2}}}}$

這樣範數就會等於绝对值：

${\displaystyle \|z_{1}\|^{2}:=\langle z_{1},\,z_{1}\rangle =z_{1}{\overline {z_{1}}}=|z_{1}|^{2}}$

而任二實數${\displaystyle a,\,b\in \mathbb {R} }$的內積就只是普通的乘法：

${\displaystyle \langle a,\,b\rangle :=a{\overline {b}}=ab}$

${\displaystyle \|a\|^{2}=a{\overline {a}}=|a|^{2}}$

這樣兩系內的三角不等式都只是內積空間的特例：

定理 — 

${\displaystyle \left||z_{1}|-|z_{2}|\right|\leq |z_{1}+z_{2}|\leq |z_{1}|+|z_{2}|}$ (${\displaystyle z_{1},\,z_{2}\in \mathbb {C} }$)

${\displaystyle \left||a|-|b|\right|\leq |a+b|\leq |a|+|b|}$ (${\displaystyle a,\,b\in \mathbb {R} }$)

其實上面兩式也可以用更基礎，只牽涉到複數運算的方式證明：

證明

考慮到 ${\displaystyle |z_{1}z_{2}|=|z_{1}||z_{2}|}$ ${\displaystyle |z_{1}|=|{\overline {z_{1}}}|}$ 有： ${\displaystyle {\begin{aligned}|z_{1}+z_{2}|^{2}&=(z_{1}+z_{2})({\overline {z_{1}+z_{2}}})\\&=|z_{1}|^{2}+{\overline {z_{1}}}z_{2}+z_{1}{\overline {z_{2}}}+|z_{2}|^{2}\\&=|z_{1}|^{2}+2\operatorname {Re} {({\overline {z_{1}}}z_{2})}+|z_{2}|^{2}\\&\leq |z_{1}|^{2}+2|{\overline {z_{1}}}z_{2}|+|z_{2}|^{2}\\&=|z_{1}|^{2}+2|z_{1}||z_{2}|+|z_{2}|^{2}\\&={\left(|z_{1}|+|z_{2}|\right)}^{2}\\\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}||z_{1}|-|z_{2}||^{2}&=|z_{1}|^{2}-2|z_{1}||z_{2}|+|z_{2}|^{2}\\&\leq |z_{1}|^{2}+2\operatorname {Re} {({\overline {z_{1}}}z_{2})}+|z_{2}|^{2}\\&=|z_{1}+z_{2}|^{2}\end{aligned}}}$ 故複數三角不等式得證，實數只是複數的特例而以。${\displaystyle \Box }$

坐標空間

${\displaystyle n}$維（实数）坐標空間${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$本身就是以實數系${\displaystyle \mathbb {R} }$為域（純量母空間）的向量空間，只要對任意${\displaystyle a=(a_{1},\,\dots ,\,a_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}$和${\displaystyle b=(b_{1},\,\dots ,\,b_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}$和純量 ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }$作如下定義：

(1)向量加法： ${\displaystyle a\oplus b:=(a_{1}+b_{1},\,\dots ,\,a_{n}+b_{n})}$

(2)純量乘法：${\displaystyle \lambda \cdot a:=(\lambda a_{1},\,\dots ,\,\lambda a_{n})}$

它也能成為實係數内积空间，只要作如下定義：

(3) 內積： ${\displaystyle \langle a,\,b\rangle :=a_{1}b_{1}+\dots +a_{n}b_{n}}$

也就是普通的点积。這樣的話範數正好就等於直觀上的長度：

${\displaystyle \|a\|^{2}:=\langle a,\,a\rangle =a_{1}^{2}+\dots +a_{n}^{2}}$

這樣實數座標空間的三角不等式就是內積空間不等式的特例了：

定理 — 

${\displaystyle \left|\|a\|-\|b\|\right|\leq \|a\oplus b\|\leq \|a\|+\|b\|}$ (${\displaystyle a,\,b\in \mathbb {R} ^{n}}$)

如果把把歐幾里得平面和${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$做一對一對應的話，歐式几何一節的三角不等式就可以視為上式的特例；但也可以使用${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$空間座標的運算性質來證明：

定理 — 
對${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$坐标系中任三點${\displaystyle A,\,B,\,C}$有：

${\displaystyle \left|\,\left\|{\overrightarrow {AB}}\right\|-\left\|{\overrightarrow {BC}}\right\|\,\right|\leq \left\|{\overrightarrow {AC}}\right\|\leq \left\|{\overrightarrow {AB}}\right\|+\left\|{\overrightarrow {BC}}\right\|}$

證明

首先注意到： ${\displaystyle {\overrightarrow {AC}}={\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {BC}}}$ 那根據点积的性質有： ${\displaystyle {\left\|{\overrightarrow {AC}}\right\|}^{2}={\left\|{\overrightarrow {AB}}\right\|}^{2}+{\left\|{\overrightarrow {BC}}\right\|}^{2}+2\left({\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {BC}}\right)}$ 另一方面： ${\displaystyle {\left(\left\|{\overrightarrow {AB}}\right\|+\left\|{\overrightarrow {BC}}\right\|\right)}^{2}={\left\|{\overrightarrow {AB}}\right\|}^{2}+{\left\|{\overrightarrow {BC}}\right\|}^{2}+2\left\|{\overrightarrow {AB}}\right\|\left\|{\overrightarrow {BC}}\right\|}$ 考慮到： ${\displaystyle -\left\|{\overrightarrow {AB}}\right\|\left\|{\overrightarrow {BC}}\right\|\leq {\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {BC}}\leq \left\|{\overrightarrow {AB}}\right\|\left\|{\overrightarrow {BC}}\right\|}$ 所以： ${\displaystyle \left\|{\overrightarrow {AC}}\right\|\leq \left\|{\overrightarrow {AB}}\right\|+\left\|{\overrightarrow {BC}}\right\|}$ 同樣的對 ${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}$ 和 ${\displaystyle {\overrightarrow {BC}}}$ 如法炮製就有： ${\displaystyle \left\|{\overrightarrow {AB}}\right\|\leq \left\|{\overrightarrow {AC}}\right\|+\left\|{\overrightarrow {CB}}\right\|}$ ${\displaystyle \left\|{\overrightarrow {BC}}\right\|\leq \left\|{\overrightarrow {BA}}\right\|+\left\|{\overrightarrow {AC}}\right\|}$ 換句話說： ${\displaystyle \left|\,\left\|{\overrightarrow {AB}}\right\|-\left\|{\overrightarrow {BC}}\right\|\,\right|\leq \left\|{\overrightarrow {AC}}\right\|}$ 至此三角不等式成立。${\displaystyle \Box }$

參見

• 次可加性